Diagonalización de formas bilineales simétricas

Publicada el julio 17, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre diagonalización de formas bilineales simétricas usando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $f:E\times E\to\mathbb{K}$ una forma bilineal simétrica. Se dice que los vectores $x,y\in E$ son conjugados si, y sólo si $f(x,y)=0.$
  • Teorema  (de diagonalización de formas bilineales simétricas).  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensión finita $n$  $f:E\times E\to\mathbb{K}$ una forma bilineal simétrica. Entonces, existe una base de $E$ formada por vectores conjugados dos a dos.
  • Consecuencia.  Si $B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ es una base de vectores conjugados dos a dos, la matriz de $f$ en $B$ es: $$A=\begin{bmatrix} f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & \ldots & f(e_1,e_n)\\f(e_2,e_1)  & f(e_2,e_2) & \ldots & f(e_2,e_n) \\ \vdots&&&\vdots \\ f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) &\ldots & f(e_n,e_n)\\
    \end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix} f(e_1,e_1) & 0 & \ldots & 0\\0  & f(e_2,e_2) & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & f(e_n,e_n)\\
    \end{bmatrix}\text{ (matriz diagonal)},$$ es decir toda forma bilineal simétrica en un espacio vectorial de dimensión finita es diagonalizable.
  • Teorema.  Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ la matriz simétrica de una forma bilineal  $f:E\times E\to\mathbb{K}$ con respecto de una base $B$ y consideremos la matriz $\left [A\;\;I\right]\in \mathbb{K}^{n\times 2n},$ en donde $I$ es la matriz identidad de orden $n.$ Si al efectuar a esta matriz una transformación elemental por filas y a continuación la misma por columnas, obtenemos una matriz $\left [A_1\;\;I_1\right]\in \mathbb{K}^{n\times 2n},$ en donde $A_1$ es congruente con $A$ e $I_1AI_1^T=A_1.$
  • Método  (de las transformaciones elementales por filas y columnas). Aplicando reiteradamente el teorema anterior a la matriz $\left [A\;\;I\right],$ llegamos a una matriz de la forma $\left [D\;\;P^T\right]$ siendo $D$ una matriz diagonal de $f$ en una base $B’$ de vectores conjugados dos a dos, y $P$ la matriz de cambio de $B$ a $B’.$
    Enunciado
  1. Se considera la forma bilineal simétrica en un espacio vectorial real de dimensión $3$ cuya expresión en coordenadas en una base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es $$f(x,y)=x_1y_1+5x_2y_2+8x_3y_3+2x_1y_2+2x_2y_1-3x_1y_3-3x_3y_1-4x_2y_3-4x_3y_2.$$ Hallar una matriz diagonal que la represente y la correspondiente base de vectores conjugados.
  2. Se considera la forma bilineal simétrica: $$f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\quad f(x,y)=x_1y_2+x_2y_1.$$ Hallar una matriz diagonal que la represente y la correspondiente base de vectores conjugados.
    Solución
  1. La matriz de $f$ en la base $B$ es $$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 \\
    2 & 5 & -4 \\
    -3 & -4 & 8
    \end{bmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
    -3 & -4 & 8 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2F_1}\\{F_3+3F_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}{C_2-2C_1}\\{C_3+3C_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_3-2F_2}\end{matrix}\sim $$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{C_3-2C_2}\end{matrix}\sim$$ $$
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma bilineal y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5\end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0 \\
    7 & -2 & 1\end{bmatrix}.$$ La correspondiente base de vectores conjugados es por tanto $$B’=\{u_1,-2u_1+u_2,7u_1-2u_2+u_3\}.$$
  2. La matriz de $f$ con respecto de la base canónica de $\mathbb{R}^2$ es $$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{cc|cc}
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\F_1+F_2\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\C_1+C_2\end{matrix}$$ $$\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\2F_2-F_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & -1 & -1 & 1
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}\sim\\2C_2-C_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & -2 & -1 & 1
    \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma bilineal y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base canónica $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}2& 0 \\
    0 & -2 \end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 1 \\
    -1 & 1 \end{bmatrix}.$$ La correspondiente base de vectores conjugados es por tanto $$B’=\{(1,1),(-1,1)\}.$$
Esta entrada ha sido publicada en Álgebra y etiquetada como , , , . Guarda el enlace permanente.