Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales

Proporcionamos ejercicios sobre diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales.

Enunciado
1. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es: $$q(x)=x_1^2+5x_2^2+8x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3-8x_2x_3.$$ Diagonalizarla y como aplicación descomponerla en suma de cuadrados independientes.
2. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es $q(x)=2x_1x_2.$ Diagonalizarla y como aplicación descomponerla en suma de cuadrados independientes.

Solución
1. La expresión matricial de $q$ por medio de una matriz simétrica es: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 \\
   2 & 5 & -4 \\
   -3 & -4 & 8
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
   2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
   -3 & -4 & 8 & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2F_1}\\{F_3+3F_1}\end{matrix}\sim
   \left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
   0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
   \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}{C_2-2C_1}\\{C_3+3C_1}\end{matrix}\sim
   \left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
   0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}{F_3-2F_2}\end{matrix}\sim $$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}{C_3-2C_2}\end{matrix}\sim$$ $$
   \left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
   \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma cuadrática y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & -5\end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
   -2 & 1 & 0 \\
   7 & -2 & 1\end{bmatrix}.$$ La expresión de $q$ en coordenadas en la base $B’$ es por tanto: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1′,\;x_2′,\;x_3’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & -5
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1’\\{x_2′}\\x_3’\end{pmatrix}=x_1’^2+x_2’^2-5x_3’^2.$$ Expresemos ahora $q(x)$ como suma de cuadrados independientes en función de las coordenadas originales. Tenemos $$X=PX’\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 7\\
   0 & 1 & -2 \\
   0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1’\\{x_2′}\\x_3’\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1′-2x_2’+7x_3’=x_1 \\x_2′-2x_3’=x_2\\ x_3’=x_3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1’= x_1+2x_2-3x_3\\x_2’=x_2+2x_3\\ x_3’=x_3.\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$q(x)=(x_1+2x_2-3x_3)^2+(x_2+2x_3)^2-5x_3^2.$$
2. La expresión matricial de $q$ por medio de una matriz simétrica es: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\
   1 & 0
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{cc|cc}
   0 & 1 & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\F_1+F_2\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\C_1+C_2\end{matrix}$$ $$\left[\begin{array}{cc|cc}
   2 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\2F_2-F_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
   2 & 1 & 1 & 1 \\
   0 & -1 & -1 & 1
   \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}\sim\\2C_2-C_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
   2 & 0 & 1 & 1 \\
   0 & -2 & -1 & 1
   \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma cuadrática y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}2& 0 \\
   0 & -2 \end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 1 \\
   -1 & 1 \end{bmatrix}.$$ La expresión de $q$ en coordenadas en la base $B’$ es por tanto: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1′,\;x_2’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\
   0 & -2
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1’\\{x_2′}\end{pmatrix}=2x_1’^2-2x_2’^2.$$ Expresemos ahora $q(x)$ como suma de cuadrados independientes en función de las coordenadas originales. Tenemos $$X=PX’\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
   1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1’\\{x_2′}\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1′-x_2’=x_1 \\x_1’+x_2’=x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1’= \frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\\x_2’=\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right).\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$q(x)=\frac{1}{2}(x_1+x_2)^2-\frac{1}{2}(x_1-x_2)^2.$$