Forma polar de una forma cuadrática

Proporcionamos ejercicios sobre la forma polar de una forma cuadrática.

Enunciado
1. Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática con $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2.$ Demostrar que la forma polar de $q$ es $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$$
2. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Determinar la forma polar de $q.$

Solución
1. Si $f$ es forma polar de $q,$ entonces $f$ es una forma bilineal simétrica que satisface $q(u)=f(u,u)$ para todo $u\in E.$ Tenemos, $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(x,x)+f(y,x)+f(x,y)+f(y,y)-f(x,x)-f(y,y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(y,x)+f(x,y)\right)=\frac{1}{2}\left(2\;f(x,y)\right)=f(x,y).$$
2. Por supuesto que podríamos aplicar la fórmula $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right)$$ para hallar la forma polar de $q,$ ahora bien, podemos escribir $$q(x)=X^TAX=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{4 }&5/2\\{4 }&{7}&-2\\5/2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix},$$ siendo $A$ matriz simétrica. En consecuencia la forma polar de $q$ es: $$f(x,y)=X^TAY=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{4 }&5/2\\{4 }&{7}&-2\\5/2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\y_3\end{pmatrix}.$$