Clasificación de formas cuadráticas

Publicada el julio 28, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición  (clasificación de formas cuadráticas).  Sea $q:E\to\mathbb{R}$ una forma cuadrática. Se dice que:
    $(i)\;$ $q$ es definida positiva $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} q(x)\geq 0\;\;\forall x\in E,\\q(x)\Leftrightarrow x=0.\end{matrix}\right.$
    $(ii)\;$ $q$ es semidefinida positiva $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} q(x)\geq 0\;\;\forall x\in E,\\\exists x\in E \text{ no nulo}:q(x)=0.\end{matrix}\right.$
    $(iii)\;$ $q$ es definida negativa $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} q(x)\leq 0\;\;\forall x\in E,\\q(x)\Leftrightarrow x=0.\end{matrix}\right.$
    $(iv)\;$ $q$ es semidefinida negativa $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} q(x)\leq 0\;\;\forall x\in E,\\\exists x\in E \text{ no nulo}:q(x)=0.\end{matrix}\right.$
    $(v)\;$ $q$ es indefinida $\Leftrightarrow$ $\exists x\in E:q(x)>0\;\wedge\;\exists y\in E:q(y)<0$
  • Teorema.  Sea $q:E\to\mathbb{R}$ una forma cuadrática con $\dim E=n$ finita y sea $$D=\text{diag }(d_1,d_2,\ldots,d_n)$$ cualquier matriz diagonal que representa a $q.$ Entonces,
    $(i)\;$ $q$ es definida positiva $\Leftrightarrow d_i>0$ para todo $i.$
    $(ii)\;$ $q$ es semidefinida positiva $\Leftrightarrow d_i>0$ para todo $i,$ salvo algún nulo.
    $(iii)\;$ $q$ es definida negativa $\Leftrightarrow d_i<0$ para todo $i.$
    $(iv)\;$ $q$ es semidefinida negativa $\Leftrightarrow d_i<0$ para todo $i,$ salvo algún nulo.
    $(v)\;$ $q$ es indefinida $\Leftrightarrow \exists d_i>0\;\wedge\;\exists d_j<0.$
  • Definición.  Sea la matriz de $\mathbb{K}^{n\times n}:$ $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{n}\end{bmatrix}$$ Se llaman menores principales de $A$ a los determinantes: $$\begin{aligned}&A_1=\begin{vmatrix}{a_{11}}\end{vmatrix},\;A_2=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{vmatrix},\;A_2=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&a_{13}\\{a_{21}}&{a_{22}}&a_{23}\\{a_{31}}&{a_{32}}&a_{33}\end{vmatrix},\\&\ldots,\;A_n=\left|A\right|.\end{aligned}$$
  • Teorema  (Criterio de Sylvester).  Sea la forma cuadrática  $q:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base es $q(x)=X^TAX$ con $A$ simétrica. Entonces,
    $(i)\;$ $q$ es definida positiva $\Leftrightarrow A_1>0,\;A_2>0,\;\ldots,\;A_n>0. $
    $(ii)\;$ $q$ es definida negativa $\Leftrightarrow A_1<0,\;A_2>0,\;A_3<0,\;\ldots . $
    Es decir, $q$ es definida positiva si, y sólo si todos los menores principales son positivos, y es definida negativa si, y sólo si los menores principales son alternativamente negativos y positivos, empezando por negativo.
    Enunciado
  1. Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$
  2. Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$
    Solución
  1. Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{a}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-aF_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{C_2-aC_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para $a^2-1\neq 0,$ es decir para $a\neq \pm 1:$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{(1-a^2)F_3-(2+a)F_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{0}&{-5a^2-4a}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{(1-a^2)C_3-(2+a)C_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{0}\\{0}&{0}&{(-5a^2-4a)(1-a^2)}\end{bmatrix}.$$ Una matriz diagonal que representa a $q$ es por tanto: $$D=\text{diag }\left(1,\;1-a^2,\; (5a^2+4a)(a^2-1)\right)\quad (a\neq \pm 1).$$ Las raíces de los polinomios que aparecen en $D$ son $a=\pm 1,$ $a=0$ y $a=-4/5.$ Según los valores de $a$ obtenemos:$a\in (-\infty,-1)\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;-,\; +\right)\Rightarrow q \text{ es indefinida.}$
    $a\in (-1,-4/5)\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;+,\; -\right)\Rightarrow q \text{ es indefinida.}$
    $a=-4/5\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;+,\; 0\right)\Rightarrow q \text{ es semidefinida positiva.}$
    $a\in (-4/5,0)\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;+,\; +\right)\Rightarrow q \text{ es definida positiva.}$
    $a=0\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;+,\; 0\right)\Rightarrow q \text{ es semidefinida positiva.}$
    $a\in (0,1)\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;+,\; -\right)\Rightarrow q \text{ es indefinida.}$
    $a\in (1,+\infty)\Rightarrow D= \text{diag }\left(+,\;-,\; +\right)\Rightarrow q \text{ es indefinida.}$
    Diagonalizamos ahora para $a=1:$ $$\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-F_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{3}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{C_2-C_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{3}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{F_2+F_3}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{7}\\{0}&{3}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{C_2+C_3}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{10}&{7}\\{0}&{7}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\10{F_3-7F_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{10}&{7}\\{0}&{0}&{-9}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\10{C_3-7C_2}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{10}&{0}\\{0}&{0}&{-90}\end{bmatrix}.$$ En este caso, $q$ es indefinida. Para $a=-1:$ $$\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-1}\\{-1}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2+F_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-1}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{C_2+C_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{F_2+F_3}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{5}\\{0}&{1}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{C_2+C_3}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{6}&{5}\\{0}&{5}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\6{F_3-5F_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{6}&{5}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\6{C_3-5C_2}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{6}&{0}\\{0}&{0}&{-6}\end{bmatrix},$$ luego $q$ es indefinida. Podemos pues concluir que $$\begin{aligned}&q\text{ es definida positiva}\Leftrightarrow a\in (-4/5,0),\\
    &q\text{ es semidefinida positiva}\Leftrightarrow a\in\{-4/5,0\},\\
    &q\text{ es indefinida}\Leftrightarrow a\notin [-4/5,0].\end{aligned}$$
  2. Usamos el criterio de Sylvester. Los menores principales son: $$A_1=\begin{vmatrix}{1}\end{vmatrix}=1>0,\;A_2=\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{2}&{6}\end{vmatrix}=2>0,$$ $$A_3=\begin{vmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{vmatrix}=2a-2.$$ Los tres menores principales son positivos si, y sólo si $2a-2>0.$ Por tanto, $q$ es definida positiva si, y sólo si $a>1.$
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