Propiedades de la integral definida

Publicada el agosto 2, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO

Teorema.   (Propiedaddes de la integral definida de funciones continuas). Todas las funciones que aparecen se suponen continuas en los correspondientes intervalos.

1.  $\displaystyle\int_a^b\left(f(x)+g(x)\right)dx=\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx+\displaystyle\int_a^bg(x)\;dx.$
2.  $\displaystyle\int_a^bk\;f(x)\;dx=k\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx,\quad \left(k\in\mathbb{R}\right).$
3.  $f(x)\leq g(x)$ para todo $x$ en $[a,b]\Rightarrow \displaystyle\int_a^bf(x)\;dx\leq \displaystyle\int_a^bg(x)\;dx.$
4.  $\left|\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx\right|\leq \displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|\;dx.$
5.  Si $m\leq f(x)\leq M$ para todo $x\in[a,b],$ entonces $$m(b-a)\leq \displaystyle\int_a^bf(x)\;dx\leq M(b-a).$$ 6. (Teorema de la media del cálculo integral). Existe $c\in [a,b]$ tal que $$\int_a^bf(x)\;dx=f(c)(b-a).$$ 7.  Si $a\leq b,$ se define $\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx=-\displaystyle\int_b^af(x)\;dx.$ Entonces,
$(i)\;$ $\displaystyle\int_a^af(x)\;dx=0.$
$(ii)\;$ $\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx=\displaystyle\int_a^cf(x)\;dx+\displaystyle\int_c^bf(x)\;dx$ cualquiera que sea el orden de los números $a,$ $b$ y $c.$
Nota.  Recordamos que si una función $f$ es continua y $\geq 0$ en el intervalo cerrado $[a,b],$ entonces $\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx$ representa el área de la región limitada por las rectas $x=a,$ $x=b,$ el eje $OX$ y la gráfica de $y=f(x).$

    Enunciado
  1. Calcular la integral de la función $f(x)=\sqrt{32+4x-x^2}$ en el intervalo en donde esta función está definida.
  2. Calcular $\displaystyle\int_1^e\frac{\log^2x}{x}dx$ mediante la sustitución $t=\log x.$
  3. Ordenar, sin calcularlas, las siguientes integrales $$I_1=\int_0^1\sqrt{1+x^2}dx,\quad I_2=\int_0^1x\;dx.$$
  4. Calcular $I=\displaystyle\int_0^1\left(\left|x\right|+\left|3x-1\right|\right)dx.$
  5. Acotar las siguientes integrales $$a)\;\int_0^1\sqrt{4+x^2}dx.\quad b)\;\int_{-1}^1\frac{dx}{8+x^3}.\quad c)\;\int_0^{2\pi}\frac{dx}{10+3\cos x}.$$
  6. Calcular $f'(\pi/2)$ siendo $$f(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{sen}x}\frac{dt}{1+7t+5t^2}.$$
  7. Deducir la fórmula del área de un círculo.
  8. Demostrar que si $f$ es integrable Riemann en $[a,b]$ entonces su primitiva $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\; dt$ es de Lipschitz en $[a,b]$.
    Solución
  1. Factorizando obtenemos $32+4x-x^2=(8-x)(x+4)$ que toma valores $\geq 0$ en el intervalo $[-4,8].$ Tenemos pues que calcular $$I=\int_{-4}^8\sqrt{32+4x-x^2}dx.$$ Podemos calcular $I$ hallando previamente la integral indefinida, sin embargo usaremos en su lugar una elegante interpretación geométrica. Elevando al cuadrado $y=f(x)$ obtenemos
    $$y^2=32+4x-x^2,\text{ o bien }(x-2)^2+y^2=36.$$ que representa una circunferencia de centro el punto $(2,0)$ y radio $6.$ La circunferencia corta al eje $OX$ en los puntos $(-4,0)$ y $(8,0),$ luego $I$ es el área del semicírculo superior limitado por la circunferencia. Es decir, $$I=\frac{1}{2}\pi\cdot 6^2=18\pi.$$
  2. Si $x=1,$ $t=\log x=0$ y si $x=e,$ $t=\log x=1.$ Por otra parte $dt=dx/x.$ en consecuencia: $$\displaystyle\int_1^e\frac{\log^2x}{x}dx=\int_0^1t^2dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.$$
  3. Tenemos $$x\in [0,1]\Rightarrow x^2\leq1+x^2\Rightarrow x\leq \sqrt{1+x^2}$$ $$\Rightarrow I_2=\int_0^1x\;dx\leq \int_0^1\sqrt{1+x^2}dx=I_1, $$ es decir $I_2\leq I_1.$
  4. Tenemos $3x-1=3(x-1/3),$ con lo cual $3x-1\leq 0$ si $x\leq 1/3$ y $3x-1\geq 0$ si $x\geq 1/3.$ Entonces,$$\left|x\right|+\left|3x-1\right|=\left \{ \begin{matrix} x-3x+1=-2x+1&\mbox{ si }x\in[0,1/3]\\x+3x-1=4x-1 & \mbox{ si }x\in [1/3,1].\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$I=\int_0^{1/3}(-2x+1)\;dx+\int_{1/3}^{1}(4x-1)\;dx$$ $$=\left[-x^2+x\right]_0^{1/3}+\left[2x^2-x\right]_{1/3}^{1}=\ldots=\frac{4}{3}.$$
  5. Llamemos $I_1,I_2,I_3$ a las integrales de los apartados $a),$ $b)$ y $c)$ respectivamente.
    $\begin{aligned} a)\quad&x\in [0,1]\Rightarrow \sqrt{4}\leq\sqrt{4+x^2}\leq \sqrt{5}\\&\Rightarrow2(1-0)\leq \int_0^1\sqrt{4+x^2}dx\leq \sqrt{5}(1-0)\Rightarrow I_1\in[2\sqrt{5}].\end{aligned}$
    $\begin{aligned}b)\quad & x\in [0,1]\Rightarrow 7\leq 8+x^3\leq 9\Rightarrow \frac{1}{9}\leq \frac{1}{8+x^3}\leq \frac{1}{8}\\&\Rightarrow\frac{1}{9}\left((1-(-1)\right)\leq \int_{-1}^1\frac{dx}{8+x^3}\leq \frac{1}{7}\left((1-(-1)\right)\Rightarrow I_2\in[2/9,2/7].\end{aligned}$
    $\begin{aligned} c)\quad&x\in [0,2\pi]\Rightarrow -1\leq\cos x\leq 1\Rightarrow 7\leq10+3\cos x\leq 13\\&\Rightarrow \frac{1}{13}\leq \frac{1}{10+3\cos x}\leq \frac{1}{7}\Rightarrow \frac{1}{13}(2\pi-0)\leq\int_0^{2\pi}\frac{dx}{10+3\cos x}\leq \frac{1}{7}(2\pi-0)\\&\Rightarrow I_3\in[2\pi/13,2\pi/7].\end{aligned}$
  6. Usando el teorema fundamental del Cálculo: $$f'(x)=\frac{1}{1+7\operatorname{sen}x+5\operatorname{sen}^2x}\cdot\cos x$$ $$-\frac{1}{1+7\operatorname{sen}x+5\operatorname{sen}^2x}\cdot(-\operatorname{sen}x).$$ Por tanto, $f'(\pi/2)=\dfrac{0}{13}+\dfrac{1}{1}=1. $
  7. Consideremos el círculo de centro el origen y radio $r.$ La circunferencia que lo delimita tiene por ecuación $x^2+y^2=r^2.$ Por razones de simetría, el área $A$ del círculo será cuatro veces el área correspondiente al primer cuadrante. Es decir: $$A=4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\;dx.$$ Efectuando la sustiución $x=r\operatorname{sen}t:$ $$A=4\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{r^2-r^2\operatorname{sen}^2t}\;r\cos t\;dt=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\operatorname{sen}^2t}\;\cos t\;dt$$ $$=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\;dt=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2t\right)dt$$ $$=4r^2\left[\dfrac{t}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}2t}{4}\right]_0^{\pi/2}=4r^2\cdot\frac{\pi}{4}=\pi r^2.$$
  8. Si $f$ es integrable Riemann en $[a,b]$ está acotada, por tanto existe $K >0$ tal que $|f(t)|\leq K$ para todo $t\in [a,b]$. Si $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\; dt$ entonces, para todo $x\ge y$ elementos de $[a,b]$: $$\displaystyle |F(x)-F(y)|=\left|\int_y^x f(t)\,dt\right|\leq\int_y^x|f(t)|\,dt\leq\int_y^x K\,dx=K(x-y)=K|x-y|.$$ Ídem para $y\ge x.$
Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , . Guarda el enlace permanente.