Derivada compleja

Publicada el agosto 8, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Definición   (Derivada compleja).  Sea  $A\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto,  $z\in A$ y  $f:A\to\mathbb{C}$ una función. Se dice que  $f$ es derivable en  $z$ si, y sólo si existe y es finito el límite $$\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.$$ En tal caso, al límite anterior se le denota por  $f'(z)$ y se le llama derivada de  $f$ en  $z.$Si para todo  $z\in A$ existe  $f'(z),$ a la función  $f’$ se la denomina función derivada de  $f.$
  • Propiedades.  1.  Si $f$ es derivable en $z,$ entonces es continua en $z.$
    2.  Sea $A$ una abierto de $\mathbb{C},$  $f$ y $g$ dos funciones complejas definidas en  $A$ y  $z$ un punto de  $A.$ Si  $f$ y  $g$ son derivables en  $z,$  $f+g$ y  $fg$ también lo son, y se verifica: $$(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z),\quad (fg)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).$$ Si además,  $g'(z)\neq 0:$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(z)=\frac{f'(z)g(z)-g'(z)f(z)}{g(z)^2}.$$
    3.   (Regla de la cadena) Sean $A$ y  $B$ dos abiertos de $\mathbb{C},$  $f:A\to B$ y $g:B\to \mathbb{C}$ dos funciones y  $z$ un punto de  $A.$ Si  $f$ es derivable en  $z$ y $g$ en  $f(z),$  $g\circ f$ es derivable en  $z$ y además $$(g\circ f)'(z)=g’\left(f(z)\right)f'(z)$$
  • Observación.  Fácilmente se demuestra que los polinomios complejos se derivan siguiendo las mismas reglas que los polinomios reales. Esto, unido a las propiedades anteriores, permite derivar de manera sencilla algunas funciones algebraicas complejas.
    Enunciado
  1. Si $f(x)=z^2,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada.
  2. Si $f(z)=z^3,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada.
  3. Si $f(z)=\dfrac{1}{z},$ hallar $f'(z)$ para todo $z$ complejo no nulo, usando la definición de derivada.
  4. Demostrar que la función $f(z)=\bar{z}$ no es derivable en $z=0.$
  5. Demostrar que si $f$ es derivable en un punto $z,$ entonces es continua en $z.$
  6. Calcular las derivadas de las funciones complejas
    $(i)\;f(z)=\dfrac{a+bz}{c+dz}\; (a,b,c,d\text{ constantes complejas)}.\quad$ $(ii)\;g(x)=\dfrac{3z+5}{z^2-4z+3}.$
  7. Calcular $\dfrac{d}{dz}(z^3+5z^2+1)^8.$
    Solución
  1. Tenemos: $$f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(z+h)^2-z^2}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{z^2+2zh+h^2-z^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2z+h)=2z.$$
  2. Tenemos: $$f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(z+h)^3-z^3}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{z^3+3z^2h+3zh^2+h^3-z^3}{h}=\lim_{h\to 0}(3z^2+3zh+h^2)=3z^2.$$
  3. Tenemos:$$f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{z+h}-\frac{1}{z}}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{z-z-h}{h(z+h)z}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{(z+h)z}=-\frac{1}{z^2}.$$
  4. Se verifica $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\bar{h}}{h}.$ Haciendo $h=e^{i\theta}$ ($r>0$) queda $\dfrac{\bar{h}}{h}=\dfrac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}}=e^{-2i\theta}.$ Esto implica que no existe el límite de $\dfrac{\bar{h}}{h}$ cuando $h\to 0$ (dependería de $\theta$). Es decir, no existe $f'(0).$
  5. Para $h\neq 0$ se verifica: $$f(z+h)-f(z)=\frac{f(z+h)-f(z)}{h}h.\qquad (1)$$ Al ser $f$ derivable en $z$, existe y es finito: $$f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.$$ Tomando límites en $(1):$ $$\left(\lim_{h\to 0}f(z+h)\right)-f(z)=f'(z)\cdot 0=0,$$ lo cual implica que $\displaystyle\lim_{h\to 0}f(z+h)=f(z),$ es decir $f$ es continua en $z.$
  6. Usando la fórmula de la derivada de un cociente:
    $(i)$ $f'(z)=\dfrac{b(c+dz)-d(a+bz)}{(c+dz)^2}=\dfrac{bc-ad}{(c+dz)^2}.$
    $(ii)$ $g'(z)=\dfrac{3(z^2-4z+3)-(2z-4)(3z+5)}{(z^2-4z+3)^2}=\dfrac{-3z^2-10z+29}{(z^2-4z+3)^2}.$
  7. Usando la regla de la cadena, $$\dfrac{d}{dz}(z^3+5z^2+1)^8=8(z^3+5z^2+1)^7(3z^2+10z).$$
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