Producto escalar real

Proporcionamos ejercicios sobre el producto escalar real.

Enunciado
1. Demostrar que $\left<x,y\right>=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$ con $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ e $y=(y_1,\ldots,y_n)^T$ vectores de $\mathbb{R}^n$ es un producto escalar (se le denomina producto escalar usual de $\mathbb{R}^n$).
2. Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ definidas en el intervalo cerrado $[a,b].$ Demostrar que la siguiente aplicación es un producto escalar en $E$ $$\left<x(t),y(t)\right>=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$
3. Determinar los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales es un producto escalar en $\mathbb{R}^3:$ $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{-3}&{-1}\\{-3}&{10}&{0}\\{-1}&{0}&{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\{y_3}\end{pmatrix}.$$
4. Demostrar que $\left<X,Y\right>=\text{traza}\left(X^TY\right)$ es un producto escalar en el espacio vectorial $E$ de las matrices reales cuadradas de órdenes $n.$
5. En el espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ se considera el producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_0^1p(x)q(x)\;dx.$$ $a)\;$ Determinar la matriz de Gram respecto de la base canónica de $\mathbb{R}_2[x].$
   $b)\;$ Calcular $\displaystyle\int_0^1(1+x)(3-x^2)\;dx$ usando la matriz de Gram.

Solución
1. La expresión matricial de $\left<\;,\;\right>$ en la base canónica de $\mathbb{R}^n$ es $$\left<x,y\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2\ldots,x_n\end{pmatrix}I\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{pmatrix},$$ luego $\left<\;,\;\right>$ es una forma bilineal. Además, es simétrica pues la matriz identidad $I$ lo es. Claramente todos los menores principales de $I$ son mayores que cero (en concreto iguales a 1), por tanto, la forma cuadrática asociada a $\left<\;,\;\right>$ es definida positiva, lo cual implica que $\left<\;,\;\right>$ es producto escalar.
2. La aplicación está bien definida pues la integral de una función continua en un intervalo cerrado siempre existe y es además un número real.
   $(i)\;$ Para todo $x(t),y(t)$ elementos de $E$ se verifica $$\left<x(t),y(t)\right>=\int_a^bx(t)y(t)\;dt=\int_a^by(t)x(t)\;dt=\left<y(t),x(t)\right>.$$ $(ii)\;$ Para todo $\alpha,\beta$ números reales y para todo $x(t),y(t),z(t)$ elementos de $E$ se verifica: $$\left<\alpha x(t)+\beta y(t),z(t)\right>=\int_a^b\left(\alpha x(t)+\beta y(t)\right)z(t)\;dt$$ $$=\int_a^b\left(\alpha x(t)z(t)+\beta y(t)z(t)\right)dt=\alpha\int_a^bx(t)z(t)\;dt$$ $$+\beta\int_a^by(t)z(t)\;dt=\alpha\left<x(t),z(t)\right>+\beta\left<y(t),z(t)\right>.$$ $(iii)\;$ Si $x(t)$ es una función no nula de $E:$ $$\left<x(t),x(t)\right>=\int_a^bx(t)x(t)\;dt=\int_a^bx(t)^2dt.$$ La función $x(t)^2$ es no nula y no negativa en $[a,b].$ Por un conocido resultado de Cálculo, su integral es positiva, es decir $\left<x(t),x(t)\right>>0.$ Concluimos que la aplicación dada es un producto escalar.
3. La expresión dada es una forma bilineal. Además es simétrica pues la matriz que la representa lo es. Para que la forma cuadrática asociada sea definida positiva, todos los menores prricipales $$A_1=\left|1\right|=1,\;\;A_2=\begin{vmatrix}{1}&{-3}\\{-3}&{10}\end{vmatrix}=1,\;\;A_3=\left|A\right|=a-10,$$ han de ser positivos. Esto ocurre si, y sólo si $a>10.$
4. $(i)\;$ Para todo $X,Y$ elementos de $E,$ y usando conocidas propiedades de la traza: $$\left<X,Y\right>=\text{traza}\left(X^TY\right)=\text{traza}\left(\left(X^TY\right)^T\right)=\text{traza}\left(Y^TX\right)=\left<Y,X\right>.$$ $(ii)\;$ Para todo $\alpha,\beta$ números reales, para todo $X,Y,Z$ elementos de $E,$ y usando conocidas propiedades de la traza: $$\left<\alpha X+\beta Y,Z\right>=\text{traza}\left(\left(\alpha X+\beta Y\right)^TZ\right)=\text{traza}\left(\left(\alpha X^T+\beta Y^T\right)Z\right)$$ $$=\text{traza}\left(\alpha X^TZ+\beta Y^TZ\right)=\alpha\;\text{traza}\left( X^TZ\right)+\beta\;\text{traza}\left( Y^TZ\right)$$ $$=\alpha\left<X,Y\right>+\beta\left<Y,Z\right>. $$ $(iii)\;$ Si $X=[x_{ij}]$ es una matriz no nula de $E,$ $$\left<X,X\right>=\text{traza}\left(X^TX\right)$$ $$=\text{traza}\begin{bmatrix} x_{11} & x_{21} & \ldots & x_{n1}\\ x_{12} &x_{22} & \ldots & x_{n2} \\ \vdots&&&\vdots \\ x_{1n} & x_{2n} &\ldots & x_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\ x_{21} &x_{22} & \ldots & x_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ x_{n1} & x_{n2} &\ldots & x_{nn}\end{bmatrix}$$ $$=\text{traza}\begin{bmatrix} x_{11}^2+x_{21}^2+\cdots+x_{n1}^2 & & \ldots & \\ & & \ldots & \\ \vdots&&&\vdots \\ & &\ldots & x_{1n}^2+x_{2n}^2+\cdots+x_{nn}^2\end{bmatrix}$$ $$=\left(x_{11}^2+x_{21}^2+\cdots+x_{n1}^2\right)+\cdots+\left(x_{1n}^2+x_{2n}^2+\cdots+x_{nn}^2\right).$$ La suma anterior es la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz $X.$ Como $X\neq 0,$ algún $x_{ij}$ es no nulo y por tanto $\left<X,X\right>>0.$ Concluimos que la aplicación dada es un producto escalar.
5. $a)\;$ Tenemos $$\left<1,1\right>=\int_0^11\;dx=1,\;\left<1,x\right>=\left<x,1\right>=\int_0^1x\;dx=1/2,$$ $$\left<1,x^2\right>=\left<x^2,1\right>=\int_0^1x^2\;dx=1/3,\;\left<x,x\right>=\int_0^1x^2\;dx=1/3,$$ $$\left<x,x^2\right>=\left<x^2,x\right>=\int_0^1x^3\;dx=1/4,\;\left<x^2,x^2\right>=\int_0^1x^4\;dx=1/5.$$ La matriz de Gram respecto de la base canónica $B=\{1,x,x^2\}$ es por tanto $$G=\begin{pmatrix}{\left<1,1\right>}&{\left<1,x\right>}&{\left<1,x^2\right>}\\{\left<x,1\right>}&{\left<x,x\right>}&{\left<x,x^2\right>}\\{\left<x^2,1\right>}&{\left<x^2,x\right>}&{\left<x^2,x^2\right>}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{1/2}&{1/3}\\{1/2}&{1/3}&{1/4}\\{1/3}&{1/4}&{1/5}\end{pmatrix}.$$ $b)\;$ Podemos expresar $$\int_0^1(1+x)(3-x^2)\;dx=\left<1+x,3-x^2\right>$$ $$=\begin{pmatrix}1,1,0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{1/2}&{1/3}\\{1/2}&{1/3}&{1/4}\\{1/3}&{1/4}&{1/5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\{0}\\{-1}\end{pmatrix}$$ $$=\begin{pmatrix}3/2,5/6,7/12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\{0}\\{-1}\end{pmatrix}=\frac{9}{2}-\frac{7}{12}=\frac{47}{12}.$$