Matrices unitarias

Estudiamos algunas propiedades de las matrices unitarias.

Enunciado
1. Comprobar que $U=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{-1+i}\\{1+i}&{1}\end{bmatrix}$ es matriz unitaria.
2. Identificar las matrices unitarias reales.
3. Demostrar que una matriz $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ es unitaria si, y sólo si sus vectores columnas forman un sistema ortonormal con el producto escalar complejo usual.
   Aplicación. Comprobar que $M=\begin{bmatrix}{0}&{i}\\{-i}&{0}\end{bmatrix}$ es unitaria.
4. Demostrar que:
   $1)$ El producto de matrices unitarias y del mismo orden es unitaria.
   $2)$ La matriz identidad es unitaria.
   $3)$ La inversa de una matriz unitaria es unitaria.
   Nota. Estas propiedades demuestran que el conjunto de las matrices unitarias de orden $n$ es subgrupo multiplicativo del grupo multiplicativo de la matrices invertibles de $\mathbb{C}^{n\times n}.$
5. Demostrar el módulo del determinante de una matriz unitaria es igual a $1.$

Solución
1. Tenemos $$U^*U=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{1-i}\\{-1-i}&{1}\end{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{-1+i}\\{1+i}&{1}\end{bmatrix}$$ $$=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{3}&{0}\\{0}&{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},$$ por tanto $U$ es unitaria.
2. Si $U$ es matriz real y unitaria, $U^*=\left(\overline{U}\right)^t=U^t.$ Entonces, $U$ es unitaria si, y sólo si $U^tU=I$ lo cual equivale a decir que $U$ es ortogonal.
3. El producto escalar complejo usual de dos vectores columna $x=(x_j),$ $y=(y_j)$ de $\mathbb{C}^{n\times n}$ sabemos que viene dado por $$\langle x,y\rangle=x_1\overline{y_1}+\cdots+x_n\overline{y_n}=y^*x.$$ Si $C_1,\ldots,C_n$ son las columnas de $U,$ $$U^*U=\begin{bmatrix}C_1^*\\{C_2^*}\\ \vdots\\{C_n^*}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_1,C_2,\ldots,C_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_1^*C_1 & C_1^*C_2 & \ldots & C_1^*C_n\\ C_2^*C_1 &C_2^*C_2 & \ldots & C_2^*C_n \\ \vdots&&&\vdots \\ C_n^*C_1 & C_n^*C_2 &\ldots & C_n^*C_n\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix} \langle C_1,C_1\rangle & \langle C_2,C_1\rangle & \ldots & \langle C_n,C_1\rangle\\ \langle C_1,C_2\rangle & \langle C_2,C_2\rangle & \ldots & \langle C_n,C_2\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle C_1,C_n\rangle & \langle C_2,C_n\rangle &\ldots & \langle C_n,C_n\rangle\end{bmatrix}.$$ En consecuencia, $$U\text{ es unitaria }\Leftrightarrow U^*U=I\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \langle C_i,C_j\rangle=0& i\neq j\\\langle C_i,C_i\rangle=\left\|C_i\right\|^2=1 & \forall i=1,\ldots,n,\end{matrix}\right.$$ de lo cual se concluye la propiedad. Sean ahora $C_1$ y $C_2$ las columnas de $M.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\left\|C_1\right\|=\sqrt{\langle C_1,C_1\rangle}=\sqrt{0\cdot 0+(-i)\cdot i}=\sqrt{1}=1,\\
   &\left\|C_2\right\|=\sqrt{\langle C_2,C_2\rangle}=\sqrt{i\cdot (-i)+0\cdot 0}=\sqrt{1}=1,\\
   &\langle C_1,C_2\rangle=0\cdot (-i)+(-i)\cdot 0=0,\end{aligned}$$ por tanto $M$ es unitaria.
4. $1)$ Sean $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ unitarias. Entonces, $$(AB)^*(AB)=B^*A^*AB=B^*IB=B^*B=I\Rightarrow AB\text{ es unitaria.}$$ $2)$ Tenemos $I^*I=II=I,$ por tanto $I$ es unitaria.
   $3)$ Si $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ es unitaria, $A^{-1}=A^*,$ por tanto $$\left(A^{-1}\right)^*A^{-1}=\left(A^{*}\right)^{*}A^{-1}=AA^{-1}=I\Rightarrow A^{-1}\text{ es unitaria.}$$
5. Si $U$ es unitaria, $U^*U=I.$ Tomando determinantes, y teniendo en cuenta que el determinante de la matriz conjugada es el conjugado del determinante, $$\left(\det U^*\right)\cdot \left(\det U\right)=1\Rightarrow \left(\det \overline{U}^{\;t}\right)\cdot \left(\det U\right)=1 $$ $$\Rightarrow \left(\det \overline{U}\right)\cdot \left(\det U\right)=1\Rightarrow \overline{\det U}\cdot \det U=1\Rightarrow \left|\det U\right|^2=1.$$ Es decir, $\left|\det U\right|=1.$