Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de producto escalar complejo y espacio unitario.

Enunciado
1. Demostrar que en todo espacio unitario $E$ y para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ $x,y,z\in E$ se verifica
   $\begin{aligned}&a)\;\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.\\&b)\; \langle x,\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\langle x,y\rangle.\\&c)\;\langle x,0\rangle=\langle 0, y\rangle=0.\end{aligned}$
2. Dados dos vectores $x=(x_j),$ $y=(y_j)$ de $\mathbb{C}^n$ se define $$\langle x,y \rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots +x_n\overline{y_n}.$$ Demostrar que es un producto escalar complejo (se le llama producto escalar usual en $\mathbb{C}^n$).
3. Hallar $\langle x,y\rangle,$ siendo $x=(1+3i,-2i,1,5)^t,$ $y=(1+i,1,0,-2+3i)$ con $\langle \;,\;\rangle$ el producto escalar usual en $\mathbb{C}^4.$
4. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $E=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;f\text{ continua.}\}.$ Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt$$ es un producto escalar en $E.$
5. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\sum x_j\overline{y_j}$$ es un producto escalar en $E.$
6. Sea $B=\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base ortonormal de un espacio vectorial real o complejo con producto escalar. Probar que todo $u$ perteneciente a $V$ se puede escribir como: $u=\sum_{j=1}^n\langle u, v_j\rangle v_j.$

Solución
1. $a)$ $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle+\langle z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.$
   $b)$ $\langle x,\lambda y\rangle=\overline{\langle \lambda y,x\rangle}=\overline{\lambda\langle y,x\rangle}=\overline{\lambda}\;\overline{\langle y,x\rangle}=\overline{\lambda}\langle x,y\rangle.$
   $c)$ $\langle 0,y\rangle=\langle 0y,y\rangle=0\langle y,y\rangle=0,\quad \langle x,0\rangle =\langle x,0x\rangle=\overline{0}\langle x,x\rangle=0\langle x,x\rangle=0. $
2. Escribiendo los vectores $x$ e $y$ en columnas podemos expresar $$\langle x,y\rangle=\begin{pmatrix}\overline{y_1},\ldots,\overline{y_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}=y^*x.$$ $(i)$ Para todo $x,y,z\in\mathbb{C}^n:$ $$\left<x+y,z\right>=z^*(x+y)=z^*x+z^*y=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>.$$ $(ii)$ Para todo $\alpha\in\mathbb{C}$ y para todo $x,y\in \mathbb{C}^n:$ $$\left<\alpha x,y\right>=y^*(\alpha x)=\alpha (y^*x)=\alpha\left<x,y\right>.$$ $(iii)$ Para todo $x,y\in \mathbb{C}^n.$ $$\left<y,x\right>=\sum_{k=1}^ny_k\overline{x_k}=\overline{\sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k}}=\overline{\left<x,y\right>}.$$ $(iv)$ Para todo $0\neq x\in\mathbb{C}^n:$ $$\langle x,x \rangle=\sum_{k=1}^nx_k\overline{x_k}=\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^2>0.$$
3. $\langle x,y\rangle=(1+3i)(1-i)+(-2i)\cdot 1+1\cdot0+5\cdot(-2-3i)=-6-15i.$
4. La conjugada de una función continua es continua y el producto de continuas también, luego la integral dada existe y es un número complejo. La aplicación $\langle \;,\;\rangle$ está bien definida. Para todo $\alpha\in\mathbb{C}$ y para todo $x,y,z\in E$ y usando conocidas propiedades de la integral: $$(i)\;\;\left<x+y,z\right>=\int_a^b\left(x(t)+y(t)\right)\overline{z(t)}\;dt$$ $$=\int_a^bx(t)\;\overline{z(t)}\;dt+\int_a^by(t)\;\overline{z(t)}\;dt=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>.$$ $$(ii)\;\;\left<\alpha x,y\right>=\int_a^b\alpha x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha\int_a^b x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha \langle x,y \rangle.$$ $$(iii)\;\;\left<y,x\right>=\int_a^b y(t)\;\overline{x(t)}\;dt=\int_a^b \overline{x(t)\;\overline{y(t)}}\;dt=\overline{\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt}=\overline{\langle x,y\rangle}.$$ Por último, si $x\in E$ es función no nula: $$(iv)\;\;\left<x,x\right>=\int_a^b x(t)\;\overline{x(t)}\;dt=\int_a^b \left|x(t)\right|^2\;dt.$$ La función $\left|x(t)\right|^2$ es continua, positiva y no nula en $[a,b],$ luego su integral es positiva en $[a,b]$ por una conocida propiedad de análisis real. Es decir, $\langle x,x\rangle>0.$
5. Claramente $\langle x,y\rangle\in\mathbb{C}$ pues la suma es finita.
   $(i)$ Para todo $x,y,z\in E,$ $$\langle x+y,z\rangle=\sum\left(x_j+y_j\right)\overline{z_j}=\sum\left(x_j\overline{z_j}+y_j\overline{z_j}\right)$$ $$=\sum x_j\overline{z_j}+\sum y_j\overline{z_j}=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle.$$
   $(ii)$ Para todo $\alpha\in\mathbb{C}$ y para todo $x\in E,$ $$\langle \alpha x,y \rangle=\sum (\alpha x_j)\overline{y_j}=\sum \alpha (x_j\overline{y_j})=\alpha \sum x_j\overline{y_j}=\alpha \langle x,y \rangle.$$
   $(iii)$ Para todo $x,y\in E,$ $$\left<y,x\right>=\sum y_j\overline{x_j}=\sum \overline{x_j\overline{y_j}}=\overline{\sum x_j\overline{y_j}}=\overline{\langle x,y\rangle}.$$
   $(iv)$ Para todo $0\neq x\in E$ existe al menos un $x_j$ no nulo, por tanto: $$\langle x,x\rangle=\sum x_j\overline{x_j}=\sum \left| x_j \right|^2>0.$$
6. Como $B=\{v_1,v_2,…,v_n\}$ es base de $V,$ si $u\in V$ existen escalares $\lambda_j$ con $j=1,\ldots,n$ tales que $u=\sum_{j=1}^n\lambda_jv_j.$ Entonces, para todo $i=1,\ldots,n,$ $$\displaystyle u= \sum_{j=1}^n\lambda_jv_j \Rightarrow \langle u, v_i\rangle=\langle \sum_{j=1}^n\lambda_jv_j, v_i\rangle\Rightarrow \langle u, v_i\rangle=\sum_{j=1}^n\lambda_j \langle v_j,v_i \rangle$$ $$\displaystyle \underbrace{\Rightarrow}_{B\text{ ortogonal}} \langle u, v_i\rangle=\lambda_i \langle v_i,v_i \rangle\underbrace{\Rightarrow}_{B\text{ unitaria}}\langle u, v_i\rangle=\lambda_i\cdot 1=\lambda_i\Rightarrow u=\sum_{j=1}^n\langle u, v_j\rangle v_j.$$