Expresión matricial del producto escalar complejo

Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial del producto escalar complejo.

RESUMEN TEÓRICO

Teorema. Si $E$ es espacio unitario de dimensión $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base de $E,$ entonces para todo $x,y\in E$ $$\left<x,y\right>=X^tG\overline{Y},\text{ con } G=\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,e_n\rangle\\ \langle e_2,e_1\rangle &\langle e_2,e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,e_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle e_n,e_1\rangle & \langle e_n,e_2\rangle &\ldots & \langle e_n,e_n\rangle\end{pmatrix}$$ siendo $X$ el vector de coordenadas de $x$ en $B,$ e $Y$ el de $y$ en $B.$
Nota. Como la matriz $X^tG\overline{Y}$ es de orden $1\times 1,$ es simétrica y por tanto coincide con su traspuesta. Entonces, $$\left<x,y\right>=\left(X^tG\overline{Y}\right)^t=\overline{Y}^{\;t}G^t\left(X^t\right)^t=Y^*G^tX,$$ que es otra manera de expresar matricialmente el producto escalar complejo.
Definición. A la matriz $G$ se la llama matriz de Gram del producto escalar $\langle \;,\;\rangle.$ con respecto de la base $B.$

Enunciado

Si $E$ es espacio unitario de dimensión $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base de $E,$ demostrar que para todo $x,y\in E$ $$\left<x,y\right>=X^tG\overline{Y},\text{ con } G=\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,e_n\rangle\\ \langle e_2,e_1\rangle &\langle e_2,e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,e_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle e_n,e_1\rangle & \langle e_n,e_2\rangle &\ldots & \langle e_n,e_n\rangle\end{pmatrix}$$ siendo $X$ el vector de coordenadas de $x$ en $B,$ e $Y$ el de $y$ en $B.$
Demostrar que la matriz de Gram es hermítica.

Solución

Sean $x,y\in E,$ $X=(x_1,\ldots,x_n)^t,$ $Y=(y_1,\ldots,y_n)^t.$ Entonces, $$\left<x,y\right>=\langle\sum_{j=1}^nx_je_j,\sum_{k=1}^ny_ke_k\rangle=\sum_{j=1}^nx_j\langle e_j,\sum_{k=1}^ny_ke_k\rangle$$ $$=\sum_{j=1}^nx_j\left(\overline{y_k}\sum_{k=1}^n\left<e_j,e_k\right>\right)=\sum_{j,k=1}^nx_j\overline{y_k}\left<e_j,e_k\right>$$ $$=\begin{pmatrix}x_1,x_2,\ldots,x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,e_n\rangle\\ \langle e_2,e_1\rangle &\langle e_2,e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,e_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle e_n,e_1\rangle & \langle e_n,e_2\rangle &\ldots & \langle e_n,e_n\rangle\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{y_1}\\ \overline{y_2}\\\vdots\\{\overline{y_n}}\end{pmatrix}.$$ Por tanto, $\left<x,y\right>=X^tG\overline{Y}.$
Efectivamente, si $G=\left[g_{ij}\right]$ es una matriz de Gram de orden $n,$ para todo $i=1,\ldots ,n$ se verifica $g_{ij}=\langle e_i, e_i \rangle=\overline{\langle e_i,e_i \rangle},$ luego $g_{ii}$ es real. Por otra parte, para todo $i\neq j,$ $$g_{ji}=\langle e_j, e_i \rangle=\overline{\langle e_i,e_i \rangle}=\overline{g_{ij}}.$$