Logaritmo complejo

Estudiamos propiedades del logaritmo complejo.

Enunciado
1. Demostrar que $z=0$ no tiene logaritmos y que si $z\neq 0$ entonces $$\log z=\log \left|z\right|+i\arg z,$$ en donde $\arg z$ representa el conjunto de los argumento de $z.$
2. Interpretar $\log z$ como una aplicación de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ en un grupo cociente determinado por un subgrupo del grupo aditivo de los números complejos.
3. Demostrar que la aplicación logaritmo es un homomordismo entre el grupo multiplicativo $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y el grupo aditivo $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$
4. Determinar los logaritmos principales de los números: $$\sqrt{3}+i,\quad -4,\quad-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad 3i,\quad 9,\quad \sqrt{3}-i.$$
5. Sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ que no contiene al origen y $\varphi:\Omega \to \mathbb{C}$ una función continua que satisface $e^{\varphi (z)}=z$ para todo $z\in\Omega.$ Demostrar que $\varphi$ es derivable en $\Omega$ y además $\varphi'(z)=1/z$ para todo $ z\in \Omega.$
6. Demostrar que la rama principal de $\log$ es derivable en $\mathbb{C}\setminus \{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}$ siendo $\log'(z)=\dfrac{1}{z}$ para todo $ z\in \mathbb{C}\setminus \{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}.$
7. Demostrar que si existe una determinación $\varphi (z)$ de $\log z$ en un abierto conexo $D\subset \mathbb{C}$ que no contiene al origen, cualquier otra determinación es de la forma $\varphi (z)+2k\pi i$ con $k\in\mathbb{Z}.$ Recíprocamente, $\varphi (z)+2k\pi i$ con $k\in\mathbb{Z},$ es una determinación de $\log z.$

Solución
1. Para todo $w\in\mathbb{C}$ se verifica $e^w\neq 0,$ en consecuencia $z=0$ no tiene logaritmos. Si $z\neq 0,$ $\alpha$ es un argumento de $z$ y expresando en forma binómica $w=x+iy:$ $$w\in \log z\Leftrightarrow e^{x+iy}=z\Leftrightarrow e^x\left(\cos y+i\operatorname{sen}y\right)=\left|z\right|(\cos \alpha+i\operatorname{sen}\alpha)$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^x=\left|z\right|\\y=\alpha +i2\pi k,\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow z=x+iy=\log \left|z\right|+i\arg z.$$
2. El conjunto $i2\pi \mathbb{Z}=\{i2\pi k:k\in\mathbb{Z}\}$ es claramente un subgrupo del grupo aditivo de los complejos. Es ademas subgrupo normal pues $(\mathbb{C},+)$ es conmutativo, en consecuencia está definido el grupo cociente $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$ Si $\log\left|z\right|+i\alpha$ es un logaritmo de $z,$ entonces los demás logaritmos son de la forma $$\log\left|z\right|+i(\alpha+2k\pi)=\left(\log\left|z\right|+i\alpha\right)+i2k\pi,\;(k\in\mathbb{Z})$$ los cuales pertenecen todos a un mismo elemento de $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$ Por tanto, $\log z$ está determinado unívocamente como elemento del mencionado grupo cociente.
3. Usando conocidas propiedades del módulo y el argumento, se verifica para todo $z,w$ complejos no nulos: $$\log(zw)=\log \left|zw\right|+i\arg (zw)=\log \left(\left|z\right|\left|w\right|\right)+i(\arg z+\arg w)$$ $$=\log \left|z\right|+\log \left|w\right|+i\arg z+i\arg w=\left(\log \left|z\right|+i\arg z\right)+\left(\log \left|w\right|+i\arg w\right)$$ $$=\log z+\log w,$$ de lo cual se concluye el resultado.
4. Inmediatamente obtenemos:
   $\log\left(\sqrt{3}+i\right)=\log 4+\dfrac{\pi}{3}i=2\log 2+\dfrac{\pi}{3}i.$
   $\log (-4) =\log 4+\pi i=2\log 2+\pi i.$
   $\log\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\log 1-\dfrac{2\pi}{3}i=-\dfrac{2\pi}{3}i.$
   $\log\left(3i\right)=\log 3+\dfrac{\pi}{2}i.$
   $\log 9 =\log 9+0 i=2\log 3.$
   $\log\left(\sqrt{3}-i\right)=\log 4-\dfrac{\pi}{6}i=2\log 2-\dfrac{\pi}{6}i.$
5. Sea $a\in \Omega$ genérico y demostremos que efectivamente $\varphi'(a)=1/a.$ Para ello usaremos la caracterización del límite de una función por sucesiones. Consideremos una sucesión $a_n$ de elementos de $\Omega\setminus \{a\}$ tal que $a_n\to a$ y llamemos $b_n=\varphi (a_n).$ Como $\varphi$ es continua, $b_b\to b.$ Además, $b_n\neq b$ para todo $n$ pues $$b_n=b\Rightarrow \varphi (a_n)=\varphi (a)\Rightarrow e^{\varphi(a_n)}=e^{\varphi (a)}\Rightarrow a_n=a,$$ que es absurdo. Entonces, está definido el cociente $\dfrac{\varphi(a_n)-\varphi (a)}{a_n-a}.$ Además, $$\dfrac{\varphi(a_n)-\varphi (a)}{a_n-a}=\frac{b_n-b}{e^{b_n}-e^b}=\frac{1}{\dfrac{e^{b_n}-e^b}{b_n-b}}.$$ Ahora bien, la derivada de la función $e^z$ es $e^z,$ por tanto $$\frac{1}{\dfrac{e^{b_n}-e^b}{b_n-b}}\to \frac{1}{e^b}=\frac{1}{a}.$$ Por el teorema de caracterización del límite de una función por sucesiones: $$\varphi'(a)=\lim_{z\to a}\frac{\varphi (z)-\varphi (a)}{z-a}=\frac{1}{a}.$$
6. Las partes real de imaginaria de $\log$ son continuas en $\mathbb{C}\setminus \{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\},$ por tanto también lo es $\log.$ Basta ahora aplicar el resultado del apartado anterior.
7. Sean $\varphi (z)$ y $\phi(z)$ dos determinaciones del $\log z$ en $D.$ Dado que dos logaritmos de un número $z$ difieren en $2k\pi i$ con $k$ entero, la función $$h:D\to\mathbb{R},\quad h(z)=\frac{\varphi (z)-\phi(z)}{2\pi i}$$ es continua y sólo toma valores enteros. Como $D$ es conexo, ha de tomar todos los valores reales comprendidos entre dos imágenes y esto sólo puede ocurrir si $h$ es constante. Es decir, $\varphi (z)-\phi(z)=2k\pi i$ para todo $z\in D$ con $k$ entero.
   Recíprocamente, si $\varphi (z)$ es determinación de $\log z$ en $D,$ la función $\phi(z)=\varphi (z)+2k\pi i$ también es continua en $D$ y satisface $$e^{\phi (z)}=e^{\varphi (z)+2k\pi i}=e^{\varphi (z)}e^{2k\pi i}=z\cdot 1=z,$$ por tanto $\phi (z)$ es una determinación de $\log z$ en $D.$