Serie de Maclaurin

Publicada el septiembre 28, 2014 por Fernando Revilla
TEORÍA
  • Dada una serie entera o de potencias, ya nos hemos ocupado del problema de hallar su suma. Ahora, partimos de una función  $f$ definida en un intervalo  $I$ centrado en el origen y nos planteamos:
    ¿Existe una serie entera cuya suma sea igual a  $f$ en  $I$? En caso afirmativo, ¿es única tal serie?
  • Problema de unicidad.  Se resuelve afirmativamente con el siguiente teorema:
    Teorema. Sea  $I$ un intervalo abierto centrado en  $0$ y  $f$ una función definida en  $I.$ Si  $f$ es igual en  $I$ a la suma de una serie entera, esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$
  • Definición. La serie anterior se llama serie de Maclaurin de $f.$
  • Problema de existencia.  Sea  $f$ una función definida en in intervalo abierto $I$ centrado en $0.$ Para que exista una serie entera que represente a  $f$ en $I,$ es claro que  $f$ debe admitir infinitas derivadas en $I.$ Si esto último ocurre, se puede formar la serie de Maclaurin de $f$ que es la única serie entera que la puede representar en $I.$ Entonces, el problema se puede plantear así:
    Sea una función  $f$ con infinitas derivadas en $I.$
    $a)$  La serie de Maclaurin de  $f,$ ¿es convergente?
    $b)$  En caso afirmativo, ¿su suma es igual a  $f$?
    Puede ocurrir que $a)$ tenga una respuesta negativa (el radio de convergencia podría ser $0$), e incluso puede ocurrir que si $a)$ tiene una respuesta afirmativa, puede tenerla negativa a la pregunta $b).$
    Afortunadamente, la respuesta a las preguntas $a)$ y $b)$ es afirmativa para muchas de las funciones habituales, como veremos en la próxima sección.
  • Definición. Si una función  $f$ es de clase infinito en un intervalo abierto $I$ centrado en el origen, se dice que  $f$ es suave en $I.$ Si además,  $f(x)$ es igual a la suma de la serie de Maclaurin de  $f$ para todo $x\in I,$ se dice que  $f$ es analítica en $I.$
    Enunciado
  1. Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$
  2. Sea $I$ intervalo abierto centrado en el origen y $f:I\to \mathbb{R}$ una función con infinitas derivadas en $I.$ Demostrar que si $f$ es par, su serie de Maclaurin no hace intervenir más que términos pares, y que si es impar, no hace intervenir más que términos impares.
    Solución
  1. Supongamos que $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ en $I.$ Por el conocido teorema de derivación de una serie entera, $f^{(n)}(x)$ existe para todo $x\in I$ y es la suma de una serie entera $S$ que se obtiene derivando término a término $n$ veces la serie $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots.$ En particular, $f^{(n)}(0)$ es el término constante de $S,$ que se obtiene derivando $n$ veces $a_nx^n.$ Es decir, $$f^{(n)}(0)=n(n-1)(n-2)\ldots 1\cdot a_n=n!a_n,$$ y por tanto $a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.$
  2. Si $f$ es par, entonces $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in I.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f'(-x)(-1)=f'(x).$ Es decir, $f'(-x)=-f'(x)$ para todo $x\in I$ lo cual implica que $f’$ es impar.
    Si $f$ es impar, entonces $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in I.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f'(-x)(-1)=-f'(x).$ Es decir, $f'(-x)=f'(x)$ para todo $x\in I$ lo cual implica que $f’$ es par.
    Lo anterior inplica que si $f$ es par, son impares las funciones derivadas $f^{(2n+1)}$ con lo cual $f^{(2n+1)}(0)=0$ y la serie de Maclaurin de $f$ no hace intervenir más que términos pares.
    Si $f$ es impar, son impares las funciones derivadas $f^{(2n)}$ con lo cual $f^{(2n)}(0)=0$ y la serie de Maclaurin de $f$ no hace intervenir más que términos impares.
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