Desarrollo en serie de Maclaurin de la función arco tangente

Demostramos que la función arcotangente es igual a la suma de su serie de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}$$

Solución 
Llamemos  $f(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$ Derivando y usando el conocido teorema de la suma de las series geométricas $$f'(x)=1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}+\cdots$$ $$=\frac{1}{1-(-x)^2}=\frac{1}{1+x^2},\quad \left|x\right|^2<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=\arctan 0+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots=\arctan x,\quad \left|x\right|<1.$$

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