Desarrollo en serie de Maclaurin de $\log (1+x)$

Demostramos que la función $\log (1+x)$ es igual a la suma de su serie de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}.$$

Solución
Llamemos  $f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$ Derivando y usando el conocido teorema de la suma de las series geométricas $$f'(x)=1-x+x^2+\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}+\cdots$$ $$=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x},\quad \left|x\right|<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1+x}=\log (1+x)+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=(\log 1)+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\cdots,\quad \left|x\right|<1.$$