Series en espacios normados

Estudiamos algunas propiedades de las series en espacios normados.

Enunciado
1. Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie convergente en un espacio normado $E.$ Demostrar que $x_n\to 0.$ Dar un contraejemplo que demuestre que el recíproco no es cierto.
2. (Álgebra de series). Sean $\sum_{n\geq 0}x_n$ y $\sum_{n\geq 0}x’_n$ dos series en un espacio normado $E$ de sumas $s$ y $s’$ respectivamente.
   $a)$ Demostrar que la serie suma $\sum_{n\geq 0}(x_n+x’_n)$ es convergente de suma $s+s’.$
   $b)$ Demostrar que para todo escalar $\lambda,$ la serie $\sum_{n\geq 0}\lambda x_n$ es convergente de suma $\lambda s.$
3. (Criterio de Cauchy para la convergencia de series). Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie en un espacio normado $E.$ Demostrar que
   $a)\;$ Si $\sum_{n\geq 0}x_n$ es convergente, entonces para todo $\epsilon>0$ existe número natural $n_0$ tal que si $m> n\geq n_0$ se verifica $\left\|x_{n+1}+\cdots+x_m\right\|<\epsilon.$
   $b)\;$ Si $E$ es de Banach, el recíproco es cierto.
4. Una serie $\sum_{n\geq 0}x_n$ en un espacio normado $E$ se dice que es absolutamente convergente si, y solo si $\sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|$ es convergente. Demostrar que si $\sum_{n\geq 0}x_n$ es una serie absolutamente convergente en un espacio de Banach $E,$ entonces
   $a)\;$ $\sum_{n\geq 0}x_n$ es convergente.
   $b)\;$ $\left\|\sum_{n\geq 0}x_n\right\|\leq \sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|.$
5. Dada una serie $ \sum_{n\geq 1}x_n$ en un espacio normado $E,$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos viene dada por $$\left(x_1+\cdots+x_{\varphi (1)}\right)+\left(x_{\varphi (1)+1}+\cdots+x_{\varphi (2)}\right)+\cdots$$ en donde $1\leq\varphi(1)<\varphi(2)<\varphi(3)<\ldots,$ y $\varphi (n)$ es número natural para todo $n.$
   Si $\sum_{n\geq 1}x_n$ es serie con suma $s\in E,$ demostrar que cualquier esquema de asociación de términos en paquetes finitos aplicada a dicha serie da lugar a una nueva serie con la misma suma $s.$

Solución
1. Por hipótesis la sucesión de sumas parciales $s_n=x_0+x_1+\cdots+x_n$ converge a a un $s\in E.$ Entonces, $$\lim x_n=\lim \;(s_n-s_{n-1})=\lim s_n+(-1)\lim s_{n-1}=s-s=0.$$ El recíproco no es cierto. Basta considerar $E=\mathbb{R}$ con la norma del valor absoluto y la serie $\sum_{n\geq 0}1/(n+1).$ Se verifica $1/(n+1)\to 0,$ sin embargo la serie no es convergente (serie armónica).
2. $a)$ Sean $s_n$ y $s’_n$ las sumas parciales enésimas de las series dadas, respectivamente. Entonces la suma parcial enésima de la serie suma es $s_n+s’_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}(s_n+s’_n)=\lim_{n\to+\infty}s_n+\lim_{n\to+\infty}s’_n=s+s’,$$ es decir la serie suma es convergente con suma $s+s’.$
   $b)$ La suma parcial enésima de la serie $\sum_{n\geq 0}\lambda x_n$ es $\lambda s_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}\lambda s_n=\lambda\lim_{n\to+\infty}s_n=\lambda s,$$ es decir la serie $\sum_{n\geq 0}\lambda x_n$ es convergente con suma $\lambda s.$
3. $a)\;$ Si $s$ es la suma de la serie, para todo $\epsilon>0$ existe un número natural $n_0$ tal que si $n\geq n_0$ se verifica $\left\|s_n-s\right\|<\epsilon/2.$ Para $m> n\geq n_0$ tenemos $$\left\|x_{n+1}+\cdots+x_m\right\|=\left\|s_m-s_n\right\|=\left\|(s_m-s)+(s-s_n)\right\|$$ $$\leq \left\|s_m-s\right\|+\left\|s_n-s\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$ $b)\;$ Si la serie cumple la condición dada, entonces la sucesión $s_n$ de las sumas parciales es de Cauchy. Si $E$ es de Banach, por definición es completo luego $s_n$ es convergente y así lo es la serie.
4. $a)\;$ Por hipótesis, la serie $\sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|$ es convergente. Por el criterio de Cauchy en $\mathbb{R},$ para todo $\epsilon>0$ existe un número natural $n_0$ tal que si $m> n\geq n_0$ $$\left\|x_{n+1}\right\|+\left\|x_{n+2}\right\|+\cdots+\left\|x_{m}\right\|<\epsilon.$$ Pero por la desigualdad triangular, $$\left\|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_m\right\|\leq \left\|x_{n+1}\right\|+\left\|x_{n+2}\right\|+\cdots+\left\|x_{m}\right\|<\epsilon.$$ Como $E$ es de Banach, basta aplicar el apartado $b)$ del problema anterior.
   $b)\;$ Llamamos $s_n=x_0+\cdots+x_n$ y $s’_n=\left\|x_0\right\|+\cdots+\left\|x_n\right\|.$ Se verifica $\left\|s_n\right\|\leq s’_n.$ Entonces, usando que la norma es una aplicación continua$$\left\|\sum_{n\geq 0}x_n\right\|=\left\|\lim_{n\to +\infty}s_n\right\|=\lim_{n\to +\infty}\left\|s_n\right\|\leq\lim_{n\to +\infty}s’_n=\sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|.$$
5. Sea $\varphi (n)$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos. Es claro que $s_{\varphi (n)}$ es una subsucesión de $s_n,$ por tanto tendrá como límite $s.$