Funciones de orden exponencial

Definimos el orden exponencial de una función y proporcionamos ejemplos.

Enunciado
Una función  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ se dice que es de orden exponencial si, y sólo si existen $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $$\left|f(t)\right|<Me^{\alpha t}\text{ si } t>t_0.$$
1. Demostrar que toda función acotada es de orden exponencial.
2. Demostrar que $\operatorname{sen}bt$ y $\cos bt$ son de orden exponencial.
3. Demostrar que $f(t)=e^{at}\operatorname{sen}bt$ es de orden exponencial.
4. Demostrar que $f(t)=t^n$ con $n$ entero positivo, es de orden exponencial.
5. Demostrar que $f(t)=e^{t^2}$ no es de orden exponencial.

Solución
1. Si  $f$ está acotada, existe $M>0$ tal que $\left|f(t)\right|<M$ para todo $t>0,$ y por tanto $$\left|f(t)\right|<Me^{0 t}\text{ si } t>0,$$ luego  $f$ es de orden exponencial.
2. Ambas funciones son acotadas y como consecuencia del apartado anterior, de orden exponencial.
3. Para todo $t$ real,  $\left|e^{at}\operatorname{sen}bt\right|=e^{at}\left|\operatorname{sen}bt\right|\leq e^{at}.$ Basta por tanto elegir $t_0=0,$ $\alpha=a,$ $M=1.$
4. Se verifica  $\dfrac{t^n}{e^t}\to 0$ cuando $t\to +\infty.$ Eligiendo $M=1,$ y por la definición de límite en el infinito, existe $t_0>0$ tal que $\left|\dfrac{t^n}{e^t}\right|<1,$ es decir $\left|t^n\right|<e^t$ si $t>t_0,$ luego $f(t)$ es de orden exponencial.
5. Si existieran  $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $\left|f(t)\right|<Me^{\alpha t}$ para todo $t>t_0,$ entonces $e^{t^2-\alpha t}<M$ lo cual es absurdo pues $t^2-\alpha t\to +\infty$ cuando $t\to +\infty.$