Convolución de dos funciones

Usamos la convolución de dos funciones para calcular algunas transformadas inversas de Laplace.

RESUMEN TEÓRICO

Definición. Sean $f,g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ dos funciones continuas (o continuas a trozos en todo intervalo $[0,b]$). Se define la convolución de las funciones $f$ y $g$ y se representa por $f*g$ o bien por $f(t)*g(t)$ a la función $$f(t)*g(t)=\int_0^tf(u)g(t-u)\;du.$$
Teorema. La convolución de dos funciones es conmutativa, es decir $f(t)*g(t)$ $=$ $g(t)*f(t).$
Teorema. En las hipótesis de la definición, si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ y $\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s),$ entonces $$\mathcal{L}\{f(t)*g(t)\}=\mathcal{L}\{f(t)\}\mathcal{L}\{g(t)\}=F(s)G(s).$$ Es decir, $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f(t)*g(t).$

Enunciado

Demostrar que la convolución es conmutativa.
Usando la convolución, hallar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$

Solución

Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$
Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ $$=g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_0^t\operatorname{sen}u\;du$$ $$=\left[-\cos u\right]_0^t=1-\cos t.$$