Matrices normales

Proporcionamos ejercicios sobre matrices normales.

Enunciado
1. Comprobar que $A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}$ es matriz normal.
2. Aplicar el teorema espectral a la matriz normal: $$A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}.$$
3. Demostrar que
   $1)$ Las matrices hermiticas antihermíticas y unitarias son normales.
   $2)$ $A$ normal $\Rightarrow$ $ \left\|Ax\right\|=\left\|A^*x\right\|$ para todo $x\in\mathbb{C}^n.$
   $3)$ Si $A$ es normal, entonces para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $x\in\mathbb{C}^n$, $ Ax=\lambda x$ $\Rightarrow$ $A^*x=\bar{\lambda}x.$
   $4)$ Vectores propios de una matriz normal asociados a valores propios distintos, son ortogonales
4. Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{\;5}&{-2i}&{\;\;\;4}\\{2i}&{\;\;8}&{-2i}\\{\;4}&{\;\;2i}&{\;\;\;5}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que es normal y encontrar una matriz unitaria $U$ tal que $U^{-1}AU$ sea diagonal.

Solución
1. $$AA^*=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{-i}&{-1-i}\\{1-i}&{-2i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{3-3i}\\{3+3i}&{6}\end{bmatrix},$$ $$A^*A=\begin{bmatrix}{-i}&{-1-i}\\{1-i}&{-2i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{3-3i}\\{3+3i}&{6}\end{bmatrix}$$ Se verifica $AA^*=A^*A$ es decir, $A$ es normal.
2. Valores propios de $A:$ $$\begin{vmatrix}{i-\lambda}&{1+i}\\{-1+i}&{2i-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-3i\lambda=0\Leftrightarrow \lambda=3i\vee\lambda=0\text{ (simples).}$$ Subespacios propios: $$V_{3i}\equiv \left \{ \begin{matrix} -2ix_1+(1+i)x_2=0\\(-1+i)x_1-ix_2=0\end{matrix}\right.,\quad V_0\equiv \left \{ \begin{matrix} ix_1+(1+i)x_2=0\\(-1+i)x_1+2ix_2=0.\end{matrix}\right.$$ Al ser $\lambda=3i$ valor propio simple, $\dim V_{3i}=1$ y una base de $V_{3i}$ es $\{u_1=(1,1+i)^t\}$. Razonando análogamente obtenemos que una base de $V_0$ es $\{u_2=(-1+i,1)^t\}$. Dado que la matriz $A$ es normal, los vectores $u_1,$ $u_2$ han de ser ortogonales. En efecto, $$\langle u_1,u_2\rangle= 1\cdot (-1-i)+(1+i)\cdot 1=0.$$ Las normas de estos vectores son $\left\|u_1\right\|=\left\|u_2\right\|=\sqrt{3},$ por tanto la matriz $$U=\begin{bmatrix}{e_1}&{e_2}\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{-1+i}\\{1+i}&{1}\end{bmatrix}$$ es unitaria, y según el teorema espectral se verifica $$U^{-1}AU=U^*AU=\text{diag }(3i,0).$$
3. $1)$ Usando las correspondientes definiciones, $$A\text{ es hermítica }\Rightarrow AA^*=AA=A^*A\Rightarrow A\text{ es normal}.$$ $$A\text{ es antihermítica }\Rightarrow AA^*=A(-A)=(-A)A=A^*A\Rightarrow A\text{ es normal}.$$ $$A\text{ es unitaria }\Rightarrow AA^*=AA^{-1}=A^{-1}A=A^*A\Rightarrow A\text{ es normal}.$$ $2)$ El producto escalar usual de dos vectores $u,v$ de $\mathbb{C}^n$ es $\langle u,v\rangle=v^*u,$ por tanto para todo $x\in\mathbb{C}^n:$ $$\left\|Ax\right\|^2=\langle Ax,Ax\rangle=\left(Ax\right)^*(Ax)=x^*A^*Ax,$$ $$\left\|A^*x\right\|^2=\langle A^*x,A^*x\rangle=\left(A^*x\right)^*\left(A^*x\right)=x^*AA^*x=x^*A^*Ax.$$ Es decir, $ \left\|Ax\right\|=\left\|A^*x\right\|.$
   $3)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ la matriz $A-\lambda I$ es normal. En efecto, $$\left(A-\lambda I\right)\left(A-\lambda I\right)^*=\left(A-\lambda I\right)\left(A^*-\bar{\lambda} I\right)$$ $$=AA^*-\lambda A^*-\bar{\lambda} A+\lambda\bar{\lambda}I.$$ $$\left(A-\lambda I\right)^*\left(A-\lambda I\right)=\left(A^*-\bar\lambda I\right)\left(A-\lambda I\right)$$ $$=A^*A-\bar\lambda A-\lambda A^*+\lambda\bar{\lambda}I=AA^*-\lambda A^*-\bar{\lambda} A+\lambda\bar{\lambda}I.$$ Entonces, aplicando la propiedad anterior a la matriz $A-\lambda I,$ $$Ax=\lambda x\Rightarrow (A-\lambda I)x=0\Rightarrow \left\|(A-\lambda I)x\right\|=\left\|(A-\lambda I)^*x\right\|=0$$ $$\Rightarrow \left\|(A^*-\bar \lambda I)x\right\|=\left\|A^*x-\bar \lambda x\right\|=0\Rightarrow A^*x-\bar \lambda x=0\Rightarrow A^*x=\bar \lambda x.$$ $4)$ Si $x,y\in\mathbb{C}^n$ son vectores propios de $A$ asociados a los valores propios $\lambda$ y $\mu$ respectivamente con $\lambda\neq \mu,$ $$\left \{ \begin{matrix} A x=\lambda x\\Ay=\mu y \end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y^*A x=\lambda y^*x\\Ay=\mu y \end{matrix}\right.\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Tomando }^*}\left \{ \begin{matrix} x^*A^* y=\bar \lambda x^*y\\Ay=\mu y .\end{matrix}\right.$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Propiedad 3. }}\left \{ \begin{matrix} x^*A^* y=\bar \lambda x^*y\\A^*y=\bar\mu y \end{matrix}\right.\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} x^*A^* y=\bar \lambda x^*y\\x^*Ay=\bar\mu x^*y \end{matrix}\right.$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Restando}}\left(\bar\lambda – \bar\mu \right)x^*y=0\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Tomando }^*}(\lambda -\mu)y^*x=0$$ $$\Rightarrow (\lambda -\mu)\langle x,y\rangle=0\underbrace{\Rightarrow}_{\lambda\neq \mu}\langle x,y\rangle=0\Rightarrow x\text{ e }y\text{ son ortogonales.}$$
4. La matriz $A$ satisface $A^*=A,$ por tanto es hermítica y como consecuencia, normal. El polinomio característico de $A$ es $\chi (\lambda)=-\lambda^3+18\lambda^2-81\lambda,$ y los valores propios $\lambda_1=0$ (simple) y $\lambda_2=9$ (doble). Un vector propio unitario asociado a $\lambda_1$ es $e_1=\frac{1}{3}(-2,i,2)^t.$ Hallando una base del subespacio propio asociado al valor propio $\lambda_2$ y normalizando por el método de Shmidt obtenemos $$e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^t,\quad e_3=\frac{1}{3\sqrt{2}}(-i,4,i)^t.$$ La matriz unitaria $U=[e_1,e_2,e_3]$ satisface por tanto $$U^{-1}AU=\text{diag }(0,9,9).$$