Espacio vectorial asociado a una extensión de cuerpos

Estudiamos la estructura de espacio vectorial asociado a una extensión de cuerpos.

PROPOSICIÓN.  Sea $K$ una extensión de $k.$ Se considera en $K,$ su suma y por otra parte, la operación ley externa $k\times K\to K,$ $(\lambda,x)\to \lambda x,$ en donde $\lambda x$ representa el producto en $K.$ Entonces, $K$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $k,$ con las operaciones dadas.

Demostración.  $1)$ Dado que $(K.+,\cdot)$ es por hipótesis un cuerpo, $(K.+)$ es grupo abeliano.
$2)$ Sean $\lambda,\mu\in k$ y $x,y\in K.$ Dado que $k\subset K,$ los elementos $\lambda,$ $\mu,$ $x,$ e $y$ pertenecen a  $K.$ Usando las propiedades de la estructura de cuerpo en $K,$ obtenemos de manera inmediata: $$ 1.\;\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y.\;\;2.\;(\lambda+\mu )x=\lambda x+\mu x.\;\:3.\;\lambda(\mu x)=(\lambda \mu x).\;\;4.\;1x= x.$$ Concluimos que $K$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $k,$ con las operaciones dadas. $\;\blacksquare$

DEFINICIÓN.  A la dimensión del espacio vectorial anterior se la representa por $[K:k],$ y se la llama grado de la extensión. $\;\square$

Ejemplo 1. Una base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ es $B=\{1,i\}.$ En efecto, todo $z\in\mathbb{C}$ es de la forma $x1+iy$ con $x,y\in \mathbb{R},$ luego $B$ es sistema generador. Por otra parte, $B$ es sistema libre pues $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2i=0$ con $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ implica $\lambda_1=\lambda_2=0.$. En consecuencia se  verifica $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2.$

Ejemplo 2.  Se verifica $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty.$ En efecto, si fuera $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=m$ finito, existirían $x_1,\ldots, x_m$ números reales tales que todo $x\in\mathbb{R}$ se podría expresar de manera única como $$x=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m,\quad \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{Q}.$$ Entonces, $\text{card }\mathbb{R}=\text{card }\mathbb{Q}^m=\aleph_0,$ lo cual es absurdo.

Ejemplo 3.  Sea $K$ un cuerpo y $K(x)$ el cuerpo de las fracciones racionales en la indeterminada $x$ con coeficientes en $K.$  Entonces, $[K(x):K]=\infty$ pues $$\{1,x.x^2,\ldots\}\subset K(x)$$ es libre e infinito.

Ejemplo 4. Fácilmente se demuestra que $\mathbb{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Q}\}$ es un cuerpo con las operaciones usuales (se le llama cuerpo de los números de Gauss). Claramente $\{1,i\}$ es base de $\mathbb{Q}(i)$ sobre $\mathbb{Q},$ luego $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2.$

El siguiente teorema, llamado Teorema de la torre, proporciona una relación entre grados  de extensiones.

TEOREMA.  Sea $K_2$ una extensión de $K_1$ y $K_3$ extensión de $K_2$ (y por tanto, también de $K_1$). Entonces, $$[K_3:K_1]=[K_3:K_2][K_2:K_1].$$ Nota. La igualdad es válida indistintamente para grados finitos o infinitos.

Demostración.  Sean $a_1,\ldots,a_r$ elementos de $K_3$ linealmente independientes sobre $K_2$ (y por tanto $r\leq [K_3:K_2]$) y sean $b_1,\ldots,b_s$ elementos de $K_2$ linealmente independientes sobre $K_1$ (y por tanto $s\leq [K_2:K_1]$). Veamos que los $rs$ elementos $a_ib_j$ de $K_3$ son linealmente independientes sobre $K_1.$ En efecto, consideremos la igualdad $$\sum_{i,j}\lambda_{ij}a_ib_j=0\qquad \lambda_{ij}\in K_1.$$ Esta igualdad se puede expresar en la forma $$\sum_i\left(\sum_j \lambda_{ij}b_j\right)a_i=0,\quad \text{con}\quad\sum_{j}\lambda_{ij}b_j\in K_2.$$ Dado que los elementos $a_i$ son linealmente independientes sobre $K_2,$ resulta $$\sum_{j}\lambda_{ij}b_j=0\qquad (i=1,\ldots,r).$$ y siendo los elementos $b_j$ linealmente independientes sobre $K_1,$ tenemos $$\lambda_{ij}=0\qquad (i=1,\ldots,r\; ;\;j=1,\ldots,s),$$ lo cual prueba el aserto inicial. Podemos por tanto afirmar que $$rs\leq [K_3:K_1]\qquad \forall r\leq [K_3:K_2]\;\forall s\leq [K_2:K_1].$$ Entonces, $[K_3:K_1]$ es infinito si uno al menos de los grados $[K_3:K_2],$ $[K_2:K_1]$ lo es, y en este caso queda demostrado el teorema.

Supongamos ahora que $[K_3:K_2]$ y $[K_2:K_1]$ son finitos y sean $r=[K_3:K_2]$ y $s=[K_2:K_1].$ Según lo ya demostrado, tenemos $$[K_3:K_2][K_2:K_1]\leq [K_3:K_1].$$ Ahora bien, para cualquier elemento $a$ de $K_3$ y teniendo en cuenta que los $a_i$ forman una base de $K_3$ sobre $K_2,$ $$a=\sum_{i=1}^r\beta_ia_i\qquad \beta_i\in K_2.$$ Análogamente, al formar los $b_j$ una base de $K_2$ sobre $K_1,$ $$\beta_i=\sum_{j=1}^s\gamma_{ij}\qquad \beta_{ij}\in K_1.$$ En consecuencia, $$a=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\gamma_{ij}a_ib_j.$$ Los $rs$ elementos $a_ib_j$ de $K_3$ son generadores de $K_3$ como espacio vectorial sobre $K_1,$ y por tanto $$[K_3:K_1]\leq rs=[K_3:K_2][K_2:K_1].$$ El teorema queda demostrado. $\;\blacksquare$

Nota.  Para una serie de extensiones de cuerpos $K_1\subset K_2\subset \ldots\subset K_n$ se demuestra fácilmente por inducción sobre $n$ que $$[K_{n}:K_{1}]=[K_{n}:K_{n-1}][K_{n-1}:K_{n-2}]\ldots [K_{2}:K_{1}].$$