Extensión de un cuerpo

Definimos el concepto de extensión de un cuerpo y estudiamos algunas propiedades asociadas

Definición.  Se llama subcuerpo de un cuerpo $K$ a cualquier subconjunto $H$ de $K$ que también es un cuerpo con respecto a la adición y multiplicación de $K.$  Si $H$ es subcuerpo de $K,$ también decimos que $K$ es supercuerpo de $H,$ o que $K$ es una extensión de $H.$ $\;\square$
Notación.  El que $K$ sea una extensión de $H$ se denota por $K:H$ o bien por $K/H.$
Ejemplo.  Tenemos $\mathbb{R}/\mathbb{Q},$ $\mathbb{C}/\mathbb{Q},$ $\mathbb{C}/\mathbb{R}.$

Teorema.  Cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo $K$ es subcuerpo de $K.$
Demostración.  Sea $\{K_i\}$ una familia de subcuerpos de $K$ y $H=\bigcap _iK_i.$ Se verifica $0\in K_i$ para todo $i,$ luego $0\in H\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H,$  entonces $x\in K_i,$ $y\in K_i$ para todo $i$ y por ser $K_i$ subgrupo aditivo de $K$ para todo $i,$ también $x-y\in K_i$ para todo $i,$ en consecuencia $x-y\in H.$ Por tanto $H$ es subgrupo aditivo de $K$ (además conmutativo por serlo $K$).

Veamos ahora que $H^*=H-\{0\}$ es subgrupo multiplicativo de $K^*=K-\{0\}.$ Se verifica $1\in K_i$ para todo $i,$ luego $1\in H^*\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H^*,$  entonces $x,y\in K_i-\{0\},$ para todo $i$ y por ser $K_i-\{0\}$ subgrupo multiplicativo de $K^*$ para todo $i,$ también $xy^{-1}\in K_i$ para todo $i,$ en consecuencia $xy^{-1}\in H^*.$ Por tanto $H^*$ es subgrupo aditivo de $K^*$ (además conmutativo por serlo $K^*$).
Si $K/H$ y $S$ es un subconjunto de $K,$ la intersección de todos los subcuerpos de $K$ que contienen a $H\cup S$ es claramente el menor de todos los subcuerpos de $K$ que contienen a $H\cup S,$ y se le denota por $H(S).$

Definición.  Se dice que $H(S)$ se ha obtenido adjuntando $S$ a $H$ en $K/H.$

Teorema.  En $K/H,$ si $S_1,$ $S_2$ son subconjuntos de $K,$ se verifica $$H(S_1\cup S_2)=H(S_1)(S_2).$$

Demostración.  Sea $X$ cualquier subconjunto de $K$ y denotemos por $\overline{X}$ al menor de todos los subcuerpos que contienen a $X.$ Entonces, si $X$ es cuerpo, $\overline{X}=X$ y por tanto, $$H(S_1\cup S_2)=\overline{H\cup (S_1\cup S_2)}=\overline{(H\cup S_1)\cup S_2}=\overline{\overline{H\cup S_1}\cup S_2}=H(S_1)(S_2).\;\;\square$$ Se obtiene por tanto el mismo subcuerpo de $K$ adjuntando a $H$ la unión $S_1\cup S_2$ que adjuntando a $H(S_1)$ el conjunto $S_2.$ Si $S=\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un subconjunto finito de $K$ denotamos por $H(a_1,\ldots,a_n)$ al cuerpo $H(S).$

Definición.  Un cuerpo obtenido adjuntando a $H$ un único elemento se llama extensión simple de $H.$ Es decir, es una extensión de la forma $H(a)$ con $a\in K.$