Cuerpo de ruptura de un polinomio

Construimos el cuerpo de ruptura de un polinomio y damos ejemplos de aplicación.

Enunciado
Sea $k$ un cuerpo, $f\in k[x]$ irreducible y sin raíces en $k$. Se llama cuerpo de ruptura de $f$ a cualquier extensión simple $k^\prime=k(\xi)$ de $k$ en la que $f$ tiene la raíz $\xi.$
1. Sea $k$ un cuerpo, $f\in k[x]$ irreducible y sin raíces en $k$ (por tanto, $\text{grado }f\ge 2).$ Demostrar que,
   (i) $\sum=k[x]/(f)$ es un cuerpo extensión de $k.$
   (ii) $\xi=x+(f)$ es raíz de $f$ en $\sum.$
   (iii) $\sum=k(\xi),$ es decir $\sum$ es extensión algebraica simple.
   Nota. Esto demuestra que $\sum=k(\xi)$ es cuerpo de ruptura de $f,$ y por tanto $f$ es reducible en $k(\xi)[x]$ al ser $f(x)=(x-\xi)g(x)$ con $g\in k(\xi)[x].$
2. Describir las operaciones suma y producto en $k(\xi)$.
3. Determinar un cuerpo de ruptura $\mathbb{Q}(\xi)$ del polinomio irreducible $$f(x)=x^2-2\in\mathbb{Q}[x].$$
4. Determinar un cuerpo de ruptura $\mathbb{R}(\xi)$ del polinomio irreducible $$f(x)=x^2+1\in\mathbb{R}[x].$$
5. Determinar un cuerpo de ruptura $\mathbb{Q}(\xi)$ del polinomio irreducible $$f(x)=x^3-2\in\mathbb{Q}[x].$$

Solución
1. (i) Al ser $f$ irreducible, $(f)$ es ideal maximal y por tanto $\sum=k[x]/(f)$ es un cuerpo. Definamos la aplicación $$\begin{aligned}&k\to \bar{k}=\{a+(f):a\in k\}\subset \sum\\
   &a\to a+(f).\end{aligned}$$ Es fácil comprobar que tal aplicación es un isomorfismo de cuerpos, y por tanto se puede considerar $k$ incluido en $\sum.$

   (ii) Sea $f(x)=\sum_{k=0}^mc_kx^k.$ Usando las conocidas operaciones en $k[x]/(f),$ $$f(\xi)=\sum_{k=0}^mc_k\xi^k=\sum_{k=0}^mc_k\left(x+(f)\right)^k=\sum_{k=0}^mc_k\left(x^k+(f)\right)=\sum_{k=0}^m\left(c_kx^k+(f)\right)$$ $$=\left(\sum_{k=0}^mc_kx^k\right)+(f)=f(x)+(f)\underbrace{=}_{f-0=f\in (f)}0+(f)=0.$$

   (iii) Todo elemento de $\sum$ es de la forma $$h(x)+(f)=\left(\sum_{k=0}^na_kx^k\right)+(f)=\sum_{k=0}^na_k\left(x+(f)\right)^k=\sum_{k=0}^na_k\xi^k.$$ Es decir, $\sum\subset k[\xi].$ Entonces, $\sum \subset k[\xi]\subset k(\xi)\subset \sum$ luego $\sum=k(\xi).$

2. Si $f\in k[x]$ es irreducible de grado $m$ y $\xi=x+(f),$ entonces el cuerpo de ruptura $\sum$ de $f$ es de la forma $$\sum=\{r_0+r_1\xi+\cdots+r_{m-1}\xi^{m-1}:r_i\in k\}.$$ Si tenemos los elementos de $\sum$ $$\begin{aligned}&\mu(\xi)=r_0+r_1\xi+\cdots+r_{m-1}\xi^{m-1},\\&\mu'(\xi)=r’_0+r’_1\xi+\cdots+r’_{m-1}\xi^{m-1},\end{aligned}$$ debido a la construcción del cuerpo $\sum,$ la operación suma es $$\mu(\xi)+\mu'(\xi)=r_0+r’_0+\left(r_1+r’_1\right)\xi+\cdots+\left(r_{m-1}+r’_{m-1}\right)\xi^{m-1},$$ y $\mu (\xi) \mu'(\xi)$ es $r(\xi)$, siendo $r(x)$ el resto de la división de $\mu (x) \mu'(x)$ entre $f(x).$ El método expuesto se llama adjunción simbólica de Cauchy.
3. Los elementos de $\mathbb{Q}(\xi)$ son de la forma $a+b\xi$ con $a,$ $b\in\mathbb{Q}.$ Para dos elementos $a+b\xi$ y $a’+b’\xi$ de $\mathbb{Q}(\xi)$ la suma es $$(a+b\xi)+(a’+b’\xi)=(a+b)+(a’+b’)\xi$$ Por otra parte, $$(a+bx)(a’+b’x)=aa’+(ba’+ab’)x+bb’x^2,$$ y efectuando la división euclídea entre $x^2-2$ obtenemos el resto $2bb’+(a’b+ab’)x,$ con lo cual $$(a+b\xi)(a’+b’\xi)=2bb’+(a’b+ab’)\xi.$$ Dado que $\xi^2=2,$ dividiendo $f(x)=x^2-2$ entre $x-\xi,$ $$\begin{array}{r|rrr}
   & 1 & 0 & -2 \\\xi & & \xi & \xi^2 \\\hline & 1 & \xi & 0\end{array}$$ por tanto $f(x)=(x-\xi)(x+\xi).$ Según es sabido, denotamos a $\xi$ por el símbolo $\sqrt{2}.$
4. Los elementos de $\mathbb{R}(\xi)$ son de la forma $a+b\xi$ con $a,$ $b\in\mathbb{R}.$ Para dos elementos $a+b\xi$ y $a’+b’\xi$ de $\mathbb{R}(\xi)$ la suma es $$(a+b\xi)+(a’+b’\xi)=(a+b)+(a’+b’)\xi$$ Por otra parte, $$(a+bx)(a’+b’x)=a+a’+(ba’+ab’)x+bb’x^2,$$ y efectuando la división euclídea entre $x^2+1$ obtenemos el resto $2bb’+(a’b+ab’)x,$ con lo cual $$(a+b\xi)(a’+b’\xi)=aa’-bb’+(a’b+ab’)\xi.$$ Dado que $\xi^2=1,$ dividiendo $f(x)=x^2+1$ entre $x-\xi,$ $$\begin{array}{r|rrr}
   & 1 & 0 & 1 \\\xi & & \xi & \xi^2 \\\hline & 1 & \xi & 0\end{array}$$ por tanto $f(x)=(x-\xi)(x+\xi).$ Según es sabido, denotamos a $\xi$ por el símbolo $i$ (unidad imaginaria). Nótese que hemos construido el cuerpo de los números complejos.
5. Los elementos de $\mathbb{Q}(\xi)$ son de la forma $a+b\xi+c\xi^2$ con $a,$ $b,$ $c\in\mathbb{Q}.$ Para dos elementos $a+b\xi+c\xi^2$ y $a’+b’\xi+c’\xi^2$ de $\mathbb{Q}(\xi)$ la suma es $$(a+b\xi+c\xi^2)+(a’+b’\xi+c’\xi^2)$$ $$=(a+b)+(a’+b’)\xi+(c+c’)\xi^2$$ Por otra parte, $$(a+bx+cx^2)(a’+b’x+c’x^2)$$ $$=aa’+(ba’+ab’)x+(a’c+bb’+ac’)x^2+(b’c+bc’)x^3+cc’x^4,$$ y efectuando la división euclídea entre $x^3-2$ obtenemos el resto $$aa’+2b’c+2bc’+(ba’+ab’+2cc’)x+(a’c+bb’+ac’)x^2,$$ con lo cual $$(a+b\xi+c\xi^2)(a’+b’\xi+c’\xi^2)$$ $$=aa’+2b’c+2bc’+(ba’+ab’+2cc’)\xi+(a’c+bb’+ac’)\xi^2.$$ Dado que $\xi^3=2,$ dividiendo $f(x)=x^3-2$ entre $x-\xi,$ $$\begin{array}{r|rrrr}
   & 1 & 0 & 0 &-2 \\\xi & & \xi & \xi^2 &\xi^3\\\hline & 1 & \xi & \xi^2 & 0\end{array}$$ por tanto $f(x)=(x-\xi)(x^2+\xi x+\xi^2).$ Según es sabido, denotamos a $\xi$ por el símbolo $\sqrt[3]{2}.$