Centro y ejes de las cónicas

Proporcionamos ejemplos de cálculo de centro y ejes de las cónicas.

Enunciado
1. Hallar el centro de cada una de las cónicas:
   $a)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1=0.$
   $b)\;$ $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$
   $c)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3=0.$
2. Hallar los ejes de las siguientes cónicas:
   $a)\;$ $x^2+2xy-y^2-6x+4y-3=0.$
   $b)\;$ $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$
3. Hallar el vértice de la parábola $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$

Solución
1. Recordamos que si la cónica de ecuación $f(x,y)=0$ tiene centro, sus coordenadas son la solución (o soluciones) del sistema lineal $$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.$$ $a)$ Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}=0\\& \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 6x-2y+2=0\\& -2x+6y-4=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 3x-y+1=0\\& x-3y+2=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y)=\left(-\frac{1}{8},\frac{5}{8}\right).$$ $b)$ Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}=0\\& \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x-2y+4=0\\& -2x+2y-6=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x-y+2=0\\& x-y+3=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ El sistema es incompatible, luego la cónica no tiene centro.
   $c)$ Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}=0\\& \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x+4y-2=0\\& 4x+8y-4=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x+2y-1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Cada punto de la recta $x+2y-1=0$ es un centro de la cónica. Tenemos pues una recta de centros.
2. Recordamos los resultados teóricos que conducen al cálculo de los ejes de una cónica.
   $(1)$ Caso elipse o hipérbola. Los ejes son $$y-y_0=\frac{\lambda_1-a_{11}}{a_{12}}(x-x_0),\quad y-y_0=\frac{\lambda_2-a_{11}}{a_{12}}(x-x_0). $$ en donde $(x_0,y_0)$ es el centro de la cónica. Si $\lambda_1=\lambda_2$ la cónica es una circunferencia y cualquier recta que pasa por el centro es eje de la cónica. Si $a_{12}=0,$ los ejes de la cónica son $x=x_0$ e $y=y_0.$
   $(2)$ Caso parábola. La ecuación del eje es $$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\lambda_2-a_{11}}{a_{12}}\frac{\partial f}{\partial y}=0\;\; (\lambda_2\ne 0).$$ Si $a_{12}=0,$ el eje es $\dfrac{\partial f}{\partial x}=0.$
   $a)\;$ Fácilmente comprobamos que la cónica es una hipérbola. Su centro es $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}=0\\& \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x+2y-6=0\\& 2x-2y+4=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y)=\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right).$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{1}\\{1}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-2 =0\Leftrightarrow \lambda=\pm \sqrt{2}.$$ Los ejes son por tanto $$y-\frac{5}{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right),\;\; y-\frac{5}{2}=-\left(\sqrt{2}+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right).$$ $b)\;$ Fácilmente comprobamos que la cónica es una parábola. Valores propios: $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda =0\Leftrightarrow \lambda=0\vee \lambda=2.$$ El eje es por tanto $$2x-2y+4-(-2x+2y-6)=0,\text{ o bien }2x-2y+5=0.$$
3. Vimos en el apartado anterior que el eje es $2x-2y+5=0.$ El vértice es la intersección de del eje con la parábola, es decir la solución del sistema $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x-2y+5=0\\& x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo $x=y-5/2$ en la segunda ecuación y simplificando obtenemos $y=-11/8$ con lo cual $x=-11/8-5/2=-31/8.$ El vértice es por tanto $$\left(-\frac{31}{8},-\frac{11}{8}\right).$$