Regla de Cramer

Proporcionamos ejercicios de aplicación de la regla de Cramer.

Enunciado
1. Comprobar que el siguiente sistema en $\mathbb{R}$ es de Cramer y resolverlo $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1+x_2+x_3=2\\& x_1+3x_2+x_3=5\\& x_1+x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
2. Usando la regla de Cramer resolver el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x+3y=2\\& x+4y=2. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $i)\;$ En $\mathbb{R}.\quad$ $ii)\;$ En $\mathbb{Z}_7.$
3. Convertir el siguiente sistema en $\mathbb{R}$ en uno de Cramer y resolverlo. $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1+2x_2+x_3+x_4=1\\& 2x_1+2x_2-x_3+3x_4=-2\\& 3x_1+4x_2+4x_4=-1. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$

Solución
1. Recordamos que un sistema lineal $Ax=b$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ se dice que es de Cramer, si y sólo si tiene el mismo número $n$ de ecuaciones que de incógnitas y además $\Delta=\det A\neq 0.$ Por otra parte, todo sistema de Cramer es compatible y determinado y denotando por $\Delta_i$ al determinante obtenido al sustituir la columna $i$-ésima de $A$ por $b,$ la única solución del sistema es $$\left(\frac{\Delta_1}{\Delta},\frac{\Delta_2}{\Delta},\ldots,\frac{\Delta_n}{\Delta}\right)\quad \text{ (Regla de Cramer)}.\quad \square$$ En nuestro caso, $$\Delta=\begin{vmatrix}{2}&{1}&{1}\\{1}&{3}&{1}\\{1}&{1}&{5}\end{vmatrix}=22\neq 0\Rightarrow$$ $$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{1}&{1}\\{5}&{3}&{1}\\{-7}&{1}&{5}\end{vmatrix}}{22}=\frac{22}{22}=1,$$ $$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{2}&{1}\\{1}&{5}&{1}\\{1}&{-7}&{5}\end{vmatrix}}{22}=\frac{44}{22}=2,$$ $$x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{1}&{2}\\{1}&{3}&{5}\\{1}&{1}&{-7}\end{vmatrix}}{22}=\frac{-44}{22}=-2.$$
2. $i)$ La única solución del sistema es $$x=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{2}&{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{vmatrix}}=\frac{2}{5}=0.4,\quad y=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{2}\\{1}&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{vmatrix}}=\frac{2}{5}=0.4. $$ $ii)$ Análogamente $$x=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{2}&{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{vmatrix}}=\frac{2}{5}=2\cdot\frac{1}{5}=2\cdot 3=6,\quad y=\frac{\begin{vmatrix}{2}&{2}\\{1}&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{vmatrix}}=\frac{2}{5}=6. $$
3. La tercera ecuación es la suma de la primera y la segunda, luego podemos eliminarla. El sistema se puede escribir en la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1+2x_2=1-x_3-x_4\\& 2x_1+2x_2=-2+x_3-3x_4.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Dado que $\Delta=\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{2}&{2}\end{vmatrix}=-2\neq 0,$ para todo $x_3,$ $x_4$ el sistema anterior es de Cramer. Entonces, $$x_1=\frac{\begin{vmatrix}{1-x_3-x_4}&{2}\\{-2+x_3-3x_4}&{2}\end{vmatrix}}{-2}=-3+2x_3-2x_4, $$ $$x_2=\frac{\begin{vmatrix}{1}&{1-x_3-x_4}\\{2}&{-2+x_3-3x_4}\end{vmatrix}}{-2}=2-3x_3/2+x_4/2. $$ Denotanto $x_3=\alpha,$ $x_3=\beta$ obtenemos todas las soluciones del sistema $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1=-3+2\alpha-2\beta\\& x_2=2-3\alpha/2+\beta/2\\& x_3=\alpha \\& x_4=\beta. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$