Desigualdad de Hadamard

Deostramos la desigualdad de Hadamard para normas euclídeas.

Enunciado
Demostrar la desigualdad de Hadamard:
Si $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ entonces,  $\det A$ es menor o igual que el producto de las normas euclídeas de sus columnas y también menor o igual que el producto de las normas euclídeas de sus filas.

Solución.  Usaremos el producto escalar usual en $\mathbb{R}^n.$ Sea $A=[C_1,C_2,\ldots, C_n],$ donde $C_1,C_2,\ldots, C_n$ representan las columnas de $A.$ Llamemos $p_1$ a la proyección ortogonal del vector $C_1$ sobre el subespacio generado por los vectores $C_2,$ $\ldots,$ $C_n.$ Como $p_1\in L[C_2,\ldots,C_n],$ $$\det A=\det \left[C_1-p_1,C_2,\ldots,C_n\right],$$ pues el valor de un determinante no se altera si a una linea se le suma una combinación lineal de otras paralelas. Además, $(C_1-p_1)\perp p_1.$ Por tanto, y usando el teorema de Pitágoras $$C_1=(C_1-p_1)+p_1\Rightarrow \left\|C_1\right\|^2=\left\|C_1-p_1\right\|^2+\left\|p_1\right\|^2\Rightarrow \left\|C_1-p_1\right\|\leq \left\|C_1\right\|.$$ Repetimos el proceso, restando a la columna  $C_2$ la proyección de $C_2$ sobre las restantes columnas. Llegaríamos a una matriz $U$ de la forma $$U=\left[C_1-p_1,C_2-p_2,\ldots,C_{n-1}-p_{n-1},C_n\right].$$ Por definición de proyección ortogonal tenemos que $$C_i=p_i+x_i\text{ con }p_i\in L[C_{i+1},\ldots,C_n] \text{ y }x_i\in\left(L[C_{i+1},\ldots,C_n]\right)^{\perp}.$$ Es decir, la diferencia $C_i-p_i$ es ortogonal a las columnas $C_{i+1}$, $\ldots,$ $C_n$ y como consecuencia, a las columnas $C_{i+1}-p_{i+1},$ $\ldots,$ $C_{n-1}+p_{n-1},$ $C_n.$ La matriz $U$ está formada por tanto por columnas ortogonales dos a dos. Llamando $U=[u_1,\ldots,u_n]:$ $$U^TU=\begin{bmatrix}u_1^T\\ \vdots\\{u_n^T}\end{bmatrix}\left[u_1,\ldots,u_n\right]=\begin{bmatrix} u_1^Tu_1  & \ldots & u_1^Tu_n \\ \vdots&&\vdots \\ u_n^Tu_1 & \ldots & u_n^Tu_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left\|u_1\right\|^2  & \ldots & 0\\ \vdots&&\vdots \\ 0 & \ldots & \left\|u_n\right\|^2\end{bmatrix}$$ $$\Rightarrow \left(\det A\right)^2=\left(\det U^T\right)\left(\det U\right)=\det\left(U^TU\right)$$ $$=\left\|u_1\right\|^2\ldots \left\|u_n\right\|^2\leq \left\|C_1\right\|^2\ldots \left\|C_n\right\|^2.$$ Por tanto $\det A\leq \left\|C_1\right\|\ldots \left\|C_n\right\|.$ Esta desigualdad también se verifica para filas pues $\det A=\det \left(A^T\right).$