Partes de uniones e intersecciones

Demostramos propiedades de las partes de uniones e intersecciones.

Enunciado
Sea $\{A_i:i\in I\}$ una familia de subconjuntos de un conjunto $E$. Demostrar que:
1. $\;\mathcal{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)$.
2. $\;\bigcup_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)\subset\mathcal{P}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)$.
3. Poner un contraejemplo que demuestre que en general no se verifica la igualdad en el apartado 2.

Solución
1. Tenemos las equivalencias: $$A\in \mathcal{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\Leftrightarrow A\subset \bigcap_{i\in I}A_i\Leftrightarrow A\subset A_i\;\;\forall i\in I\\
   $$ $$\Leftrightarrow A\in \mathcal{P}(A_i)\;\;\forall i\in I\Leftrightarrow A\in \bigcap_{i\in I}\mathcal{P}(A_i),$$ es decir, $\mathcal{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)$.
2. Tenemos las implicaciones: $$A\in\bigcup_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)\Rightarrow \exists i_0\in I: A\in\mathcal{P}(A_{i_0})\\
   \Rightarrow A\subset A_{i_0}\Rightarrow A\subset \bigcup_{i\in I}A_i\Rightarrow A\in \mathcal{P}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right),$$ lo cual demuestra la inclusión pedida.
3. Elijamos $E=\{a,b\}$, $A_1=\{a\}$, $A_2=\{b\}$. Entonces: $$\mathcal{P}(A_1)=\{\emptyset,\{a\}\}\;,\quad\mathcal{P}(A_2)=\{\emptyset,\{b\}\}$$ $$\mathcal{P}(A_1\cup A_2)=\mathcal{P}(\{a,b\})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$ y $\mathcal{P}(A_1)\cup \mathcal{P}(A_2)\neq\mathcal{P}(A_1\cup A_2)$.