Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$

Establecemos una biyección entre  $(-1,1$) y $\mathbb{R}.$

Enunciado
Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.$$

Solución
La función está bien definida pues si $x\in (-1,1)$, entonces $|x|<1$ y el denominador $1-|x|$ no se anula. Veamos que es inyectiva. $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow \dfrac{x_1}{1-\left|x_1\right|}=\dfrac{x_2}{1-\left|x_2\right|}.\quad (1)$$ Tomando módulos queda $$\frac{|x_1|}{1-\left|x_1\right|}=\frac{|x_2|}{1-\left|x_2\right|}$$ o bien, $|x_1|-|x_1||x_2|=|x_2|-|x_1||x_2|$ lo cual implica $|x_1|=|x_2|,$ y consecuentemente $1-|x_1|=1-|x_2|.$ Sustituyendo en $(1),$ queda $x_1=x_2.$Veamos que $f$ es sobreyectiva. Podemos expresar $f(x)$ en la forma:
$$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{1-x} & \mbox{ si }& x\in [0,1)\\\dfrac{x}{1+x} & \mbox{si}& x\in (-1,0).\end{matrix}\right.$$ Si $y\geq 0$, entonces igualando $y=\dfrac{x}{1-x}$ obtenemos $x=\dfrac{y}{1+y}\in [0,1)$. Si $y< 0$, entonces igualando $y=\dfrac{x}{1+x}$ obtenemos $x=\dfrac{y}{1-y}\in (-1,0)$. Es decir, para todo $y\in\mathbb{R}$ existe $x\in (-1,1)$ tal que $y=f(x)$ y por tanto, $f$ es sobreyectiva. Al ser $f$ biyectiva tiene inversa, siendo su expresión: $$f^{-1}(y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{y}{1+y} & \mbox{ si }& y\geq 0\\\dfrac{y}{1-y} & \mbox{si}& y<0,\end{matrix}\right.$$ o bien $$f^{-1}(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{1+x} & \mbox{ si }& x\geq 0\\\dfrac{x}{1-x} & \mbox{si}& x<0,\end{matrix}\right.$$ que la podemos escribir en la forma: $$f^{-1}(x)=\frac{x}{1+\left|x\right|}.$$