Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$

Efectuamos la diagonalización de un endomorfismo en el espacio $M_2(\mathbb{R}).$

Enunciado
Sea $E=\mathbb{R}^{2\times 2}$ el espacio vectorial real de las matrices de orden $2$. Se considera la aplicación $$f:E\to E\;,\quad f(X)=X^t\text{ (traspuesta de }X).$$
1. Demostrar que $f$ es lineal.
2. Hallar la matriz $A$ de $f$ con respecto a la base canónica de $E$.
3. Calcular los autovalores de $f$, los autoespacios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.

Solución
1. Para todo $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, para todo $X,Y\in E$ y usando conocidas propiedades de la trasposición: $$f(\alpha X+\beta Y)=(\alpha X+\beta Y)^t=\alpha X^t+\beta Y^t=\alpha f(X)+\beta f(Y).$$ Es decir, $f$ es lineal.
2. Consideremos la base canónica $B=\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ de $E:$ $$u_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;u_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;u_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\;u_4=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$ Hallando los transformados de los elementos de $B$ y trasponiendo coeficientes obtenemos la matriz $A$ pedida: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=u_1\\f(u_2)=u_3\\f(u_3)=u_2\\f(u_4)=u_4\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{1}&{0}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.$$
3. Tenemos: $$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{0}&{0}&0\\{0}&{-\lambda}&{1}&0\\{0}&{1}&{-\lambda}&0\\0&0&0&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}{-\lambda}&{1}&0\\{1}&{-\lambda}&0\\0&0&1-\lambda\end{vmatrix}\\&=(1-\lambda)(1-\lambda)(\lambda^2-1)=(\lambda+1)(\lambda-1)^3.\end{aligned}$$ Los valores propios o autovalores son $\lambda=-1$ (simple) y $\lambda=1$ (triple). Los autoespacios o subespacios  propios son: $$V_{-1} \equiv \left \{ \begin{matrix} 2x_1=0\\ x_1+x_2=0 \\x_1+x_2=0\\2x_4=0\end{matrix}\right.,\qquad V_{1} \equiv \left \{ \begin{matrix} 0=0\\ -x_2+x_3=0 \\x_2-x_3=0\\0=0.\end{matrix}\right.$$ Al ser $\lambda=-1$ valor propio simple, $\dim V_{-1}=1$ y una base de $V_{-1}$ (en coordenadas en $B$) es $\{(0,1,-1,0)^t\}$, por tanto una base de $V_{-1}$ es $$B_{V_{-1}}=\{u_2-u_3\}=\{\begin{bmatrix}{\;\;0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}\}.$$ La dimensión de $V_1$ es $\dim V_1=4-\text{rg }(A-I)=4-1=3$ y una base de $V_{1}$ (en coordenadas en $B$) es  $\{(1,0,0,0)^t,(0,1,1,0)^t,(0,0,0,1)^t\}.$ Es decir, $$B_{V_1}=\{u_1,u_2+u_3,u_4\}=\{\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\}.$$