Lema de Schwarz

Demostramos el lema de Schwarz y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Demostrar el lema de Schwarz:
   Sea $\mathbb{D}$ el disco unidad  $\left|z\right|<1.$  Sea  $f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ holomorfa tal que $f(0)=0$ y $\left|f(z)\right|<1$ para todo $z\in \mathbb{D}.$ Entonces,
   $i)$  Se verifica $\left|f(z)\right|\le \left|z\right|$ para todo $z\in \mathbb{D}.$
   $ii)$  Si para $z_0\in \mathbb{D}$ no nulo se verifica $\left|f(z_0)\right|= \left|z_0\right|,$ existe $\lambda\in\mathbb{C}$ con $\left|\lambda\right|=1$ tal que $f(z)=\lambda z$ para todo $z\in \mathbb{D}.$
2. Sea  $f$ holomorfa en $\mathbb{D}$ tal que  $f(0)=0$ y  $\left|f(z)\right|\le \left|z+3/2\right|$ para todo  $z\in \mathbb{D}.$
   $i)$ Demostrar que  $\left|f(1/2)\right|\le 1.$
   $ii)$ Determinar todas las funciones  $f$ para las cuales  $\left|f(1/2)\right|=1.$

Solución
1. $i)$  Como $f(0)=0,$ el desarrollo en serie de Maclaurin de  $f$ es  $$f(z)=a_1z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots.$$ En consecuencia $f(z)/z$ es holomorfa en $\mathbb{D}.$ Dado que por hipótesis   $\left|f(z)\right|<1,$ tenemos $$\left|\frac{f(z)}{z}\right|<\frac{1}{r}\quad \text{si}\quad \left|z\right|=r\quad \quad(0<r<1).$$ Por el principio del módulo máximo, la desigualdad anterior es también válida para $\left|z\right|\le r.$ Sea ahora $0\ne z\in\mathbb{D}$ fijo, entonces $$\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z\right|}<\frac{1}{r}\;\;\forall r \ge \left|z\right|\Rightarrow \frac{\left|f(z)\right|}{\left|z\right|}\le \lim_{r\to 1}\frac{1}{r}=1\Rightarrow \left|f(z)\right|\le \left|z\right|,$$ y si $z=0$ la última desigualdad se cumple trivialmente por la hipótesis  $f(0)=0.$
   $ii)$  La función  $f(z)/z$ es holomorfa en $\mathbb{D}$ y según el aoartado anterior satisface $\left|f(z)/z\right|\le 1.$  Si  $0\ne z_0\in\mathbb{D}$ satisface $\left|f(z_0)\right|=\left|z_0\right|$ entonces $\left|f(z_0)/z_0\right|=1,$ lo cual implica que $\left|f(z)/z\right|$ tiene un máximo en $z_0.$ Por el principio del módulo máximo $f(z)/z$ ha de ser constante, i.e.  $f(z)/z=\lambda$ con $\left|\lambda\right|=1,$ lo cual completa la demostración.
2. $i)$  Consideremos la función  $$g(z)=\frac{f(z)}{z+3/2}.$$ Dado que  $z\ne -3/2,$ en $\mathbb{D},$ la función  $g$ es holomorfa en  $\mathbb{D}.$ Además  $g(0)=0$ y $\left|g(z)\right|\le 1$ por la hipótesis  $\left|f(z)\right|\le \left|z+3/2\right|.$ Aplicando el lema de Schwarz a  $g,$ deducimos  $\left|g(z)\right|\le \left|z\right|$ en $\mathbb{D},$ en particular  $\left|f(1/2)\right|\le 1/2\le 1.$
   $ii)$  Si  $\left|f(1/2)\right|=1,$ entonces $$\left|g(1/2)\right|=\left|\frac{f(1/2)}{2}\right|=\frac{1}{2}=\left|\frac{1}{2}\right|.$$ Por el lema de Schwarz, ha de ser necesariamente $g(z)=\lambda z$ con $\lambda$ constante compleja de módulo 1. Es decir, $$f(z)=\lambda z(z+3/2),\quad (\lambda \in\mathbb{C},\; \left|\lambda\right|=1).\qquad (*)$$ Por otra parte, si  $f$ es de la forma anterior, $$\left|f(1/2)\right|=\left|\lambda\right|\left|\frac{1}{2}\right|\left|\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right|=1\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=1,$$ en consecuencia todas las funciones pedidas son las de la forma $(*).$