Teorema de la torre

Demostramos el teorema de la torre para extensiones de cuerpos.

Enunciado
Si $k$ un subcuerpo del cuerpo $K,$ decimos que $K$ una extensión de $k$ y a la dimensión del espacio vectorial $K$ sobre $k$ se la representa por $[K:k].$  Sea $K_2$ una extensión de $K_1$ y $K_3$ extensión de $K_2$ (y por tanto, también de $K_1$). Demostrar el teorema de la torre, es decir $$[K_3:K_1]=[K_3:K_2][K_2:K_1],$$ indistintamente para dimensiones finitas o infinitas.

Solución
Sean $a_1,\ldots,a_r$ elementos de $K_3$ linealmente independientes sobre $K_2$ (y por tanto $r\leq [K_3:K_2]$) y sean $b_1,\ldots,b_s$ elementos de $K_2$ linealmente independientes sobre $K_1$ (y por tanto $s\leq [K_2:K_1]$). Veamos que los $rs$ elementos $a_ib_j$ de $K_3$ son linealmente independientes sobre $K_1.$ En efecto, consideremos la igualdad $$\sum_{i,j}\lambda_{ij}a_ib_j=0\qquad \lambda_{ij}\in K_1.$$ Esta igualdad se puede expresar en la forma $$\sum_i\left(\sum_j \lambda_{ij}b_j\right)a_i=0,\quad \text{con}\quad\sum_{j}\lambda_{ij}b_j\in K_2.$$ Dado que los elementos $a_i$ son linealmente independientes sobre $K_2,$ resulta $$\sum_{j}\lambda_{ij}b_j=0\qquad (i=1,\ldots,r).$$ y siendo los elementos $b_j$ linealmente independientes sobre $K_1,$ tenemos $$\lambda_{ij}=0\qquad (i=1,\ldots,r\; ;\;j=1,\ldots,s),$$ lo cual prueba el aserto inicial. Podemos por tanto afirmar que $$rs\leq [K_3:K_1]\qquad \forall r\leq [K_3:K_2]\;\forall s\leq [K_2:K_1].$$ Entonces, $[K_3:K_1]$ es infinito si uno al menos de las dimensiones $[K_3:K_2],$ $[K_2:K_1]$ lo es, y en este caso queda demostrado el teorema.

Supongamos ahora que $[K_3:K_2]$ y $[K_2:K_1]$ son finitos y sean $r=[K_3:K_2]$ y $s=[K_2:K_1].$ Según lo ya demostrado, tenemos $$[K_3:K_2][K_2:K_1]\leq [K_3:K_1].$$ Ahora bien, para cualquier elemento $a$ de $K_3$ y teniendo en cuenta que los $a_i$ forman una base de $K_3$ sobre $K_2,$ $$a=\sum_{i=1}^r\beta_ia_i\qquad \beta_i\in K_2.$$ Análogamente, al formar los $b_j$ una base de $K_2$ sobre $K_1,$ $$\beta_i=\sum_{j=1}^s\gamma_{ij}b_j\qquad \beta_{ij}\in K_1.$$ En consecuencia, $$a=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\gamma_{ij}a_ib_j.$$ Los $rs$ elementos $a_ib_j$ de $K_3$ son generadores de $K_3$ como espacio vectorial sobre $K_1,$ y por tanto $$[K_3:K_1]\leq rs=[K_3:K_2][K_2:K_1].$$ Nota.  Para una serie de extensiones de cuerpos $K_1\subset K_2\subset \ldots\subset K_n$ se demuestra fácilmente por inducción sobre $n$ que $$[K_{n}:K_{1}]=[K_{n}:K_{n-1}][K_{n-1}:K_{n-2}]\ldots [K_{2}:K_{1}].$$