Derivación paramétrica y límite

Enunciado
1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$
2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$
Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción.
3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$
4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Tenemos: $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}=\frac{1}{x^2}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+(t/x)^2}$$ $$=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{(1/x)\;dt}{1+(t/x)^2}=\dfrac{1}{x}\left[\arctan \dfrac{t}{x}\right]_0^{+\infty}=\dfrac{\pi}{2x}.$$ 2. Por el apartado anterior, $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-1}\;dt=\frac{\pi}{2}x^{-1}.$ Derivando sucesivamente respecto de $x:$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}-2x(x^2+t^2)^{-2}\;dt=-\frac{\pi}{2}x^{-2}\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-2}\;dt=\frac{\pi}{4}x^{-3}
,$$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}-2(2x)(x^2+t^2)^{-3}\;dt=\frac{-3\pi}{2^2}x^{-4}\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-3}\;dt=\frac{3\pi}{2^4}x^{-5},$$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}-3(2x)(x^2+t^2)^{-4}\;dt=\frac{(-5)3\pi}{2^4}x^{-6}\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-4}\;dt=\frac{3\cdot 5\pi}{2\cdot 3\cdot 2^4}x^{-7}.
$$ El cálculo de estas primeras derivadas sugiere la fórmula:
$$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-n-1}\;dt=\frac{\pi}{2^{n+1}}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{n!}\;x^{-2n-1}.\quad (*)$$ Veamos que la fórmula anterior es cierta aplicando el método de inducción. Es cierta para $n=1$ como inmediatamente se comprueba. Sea cierta para $n,$ es decir supongamos que se verifica $(*).$ Derivando respecto de $x:$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(-n-1)2x(x^2+t^2)^{-n-2}\;dt=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{n!}\;(-2n-1)x^{-2n-2}.$$ De forma equivalente podemos escribir:

$$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(x^2+t^2)^{-(n+1)-1}\;dt=\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{(n+1)!}\;x^{-2n-3}$$ $$=\dfrac{\pi}{2^{(n+1)+1}}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2(n+1)-1)}{(n+1)!}\;x^{-2(n+1)-1}.$$ La fórmula $(*)$ es por tanto cierta para $n+1.$

3. Efectuando el cambio de variable $u=t/\sqrt{n}:$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^2\right)^n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt{n}\;du}{\left(1+u^2\right)^n}.$$ Usando la fórmula $(*)$ para $n-1$ y $x=1:$ $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}=\frac{\sqrt{n}\pi}{2^{n}}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)}{(n-1)!}$$ $$=\frac{\sqrt{n}\pi}{2}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot \ldots\cdot (2n-2).}$$ 4. De la igualdad anterior deducimos que el límite pedido es $$L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}=\frac{2}{\pi}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$$ Usando el conocido valor de la integral de Euler: $$L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}=\frac{2}{\pi}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}$$ $$=
\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{e^{t^2}}=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\dfrac{2}{\pi}\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}=\pi^{-\frac{1}{2}}.$$