Ecuación de Lagrange

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación de Lagrange.

Enunciado
Se llama ecuación diferencial de Lagrange (o de D’Alembert), a toda ecuación de la forma $y=xg(y’)+f(y’).$ Denotando $p=y’,$ la ecuación se escribe en la forma $$y=xg(p)+f(p).\qquad (*)$$ Nota. Para $g(p)=p$ obtenemos la ecuación de Clairaut.
1. Demostrar que derivando respecto de $x$ la ecuación de Lagrange, obtenemos una ecuación lineal en $x$ como función de $p.$ Concluir que la solución general de la ecuación de Lagrange se puede expresar en la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=x(p,C)\\& y=x(p,C)g(p)+f(p) \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ con $p$ parámetro.
2. Hallar la solución general en forma implicita de la ecuación $$y=x+\left(y’\right)^2-\frac{2}{3}\left(y’\right)^3.$$
3. Hallar la solución general de la ecuación $$y=2xy’+\log y’.$$

Solución
1. Derivando respecto de $x$ la ecuación $(*):$ $$p=g(p)+xg'(p)p’+f'(p)p’,$$ $$p-g(p)=\left(xg'(p)+f'(p)\right)\frac{dp}{dx},$$ $$\frac{dx}{dp}=\frac{g'(p)}{p-g(p)}x+\frac{f'(p)}{p-g(p)},$$ que es una ecuación lineal en $x$ como función de $p.$ Nótese que para $g(p)=p$ se anula el denominador, pero en tal caso obtenemos la ecuación de Clairaut.
   Sea $x=x(p,C)$ la solución general de la ecuación lineal anterior. Sustituyendo en $(*)$ obtenemos la solución general en paramétricas de la ecuación de Lagrange $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=x(p,C)\\& y=x(p,C)g(p)+f(p) \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad (p\text{ parámetro).}$$
2. La ecuación se puede expresar en la forma $y=x+p^2-2p^3/3,$ por tanto es una ecuación de Lagrange con $g(p)=1$ y $f(p)=p^2-2p^3/3.$ Derivando respecto de $x,$ $$p=1+2pp’-2p^2p’,\quad p-1=2p(1-p)\frac{dp}{dx},$$ $$\frac{dx}{dp}=-2p\;(\text{si }p\ne 1),\quad x=C-p^2.$$ Sustituyendo en la ecuación inicial, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=C-p^2\\& y=C-\frac{2}{3}p^3. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando el parámetro $p$ obtenemos la ecuación en forma implícita de la solución general $$9(C-y)^2=4(C-x)^3.$$
3. La ecuación se puede expresar en la forma $y=2xp+\log p,$ por tanto es una ecuación de Lagrange con $g(p)=2$ y $f(p)=\log p.$ Derivando respecto de $x,$ $$p=2p+2xp’+\frac{p’}{p},\quad p^2=2p^2+2xpp’+p’,$$ $$-p^2=(2xp+1)\frac{dp}{dx},\quad\frac{dx}{dp}=x\cdot \frac{-2}{\;\;p}-\frac{1}{p^2}.$$ Resolviendo la ecuación lineal anterior obtenemos $$x=\frac{C}{p^2}-\frac{1}{p},$$ y sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos: $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=\frac{C}{p^2}-\frac{1}{p}\\& y=\frac{2C}{p} -2+\log p\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad (p\text{ parámetro).}$$