Estudio de la biyectividad de $\scriptstyle f(X)=(A\cap X,B\cap X)$

Estudiamos la biyectividad de una función de conjuntos.

Enunciado
Sean $A$ y $B$ dos partes no vacías de un conjunto $E$ y $$f:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B),\quad f(X)=(A\cap X,B\cap X).$$
1. Estudiar la inyectividad de  $f.$
2. Estudiar la sobreyectividad de  $f.$
3. Determinar  $f^{-1}$ en los casos en los que  $f$ sea biyectiva.

Solución
1. Veamos que  $f$ es inyectiva si y sólo si  $A\cup B=E.$ En efecto, supongamos que  $f$ es inyectiva. Tenemos $$f(E)=(A\cap E,B\cap E)=(A,B).$$ Por otra parte $$f(A\cup B)=\left(A\cap (A\cup B),B\cap (A\cup B)\right)=(A,B).$$ Es decir  $f(E)=f(A\cup B),$ luego $A\cup B=E$ por ser  $f$ inyectiva. Recíprocamente, supongamos que $A\cup B=E.$ Entonces, $$f(X)=f(Y)\Rightarrow (A\cap X,B\cap X)=(A\cap Y,B\cap Y)$$ $$\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & A\cap X=A\cap Y\\& B\cap X=B\cap Y \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left(A\cap X\right)\cup \left( B\cap X\right)=\left(A\cap Y\right)\cup \left( B\cap Y\right)$$ $$\Rightarrow X\cap (A\cup B)=Y\cap (A\cup B)\Rightarrow X\cap E=Y\cap E\Rightarrow X=Y$$ y por tanto,  $f$ es inyectiva.
2. Veamos que  $f$ es sobreyectiva si y solamente si  $A\cap B=\emptyset.$ En efecto, si  $f$ es sobreyectiva existe $X\in\mathcal{P}(E)$ tal que $f(X)=(A,\emptyset).$ Entonces, $A\cap X=A$ y $B\cap X=\emptyset.$ De aquí se deduce $A\subset X\subset B^c,$ luego $A\cap B=\emptyset.$
   Recíprocamente, si $A\cap B=\emptyset,$ sea $(X,Y)\in\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B).$ Tenemos $$f(X\cup Y)=\left(A\cap (X\cup Y),B\cap (X\cup Y) \right)$$ $$=\left((A\cap X)\cup (A\cap Y),(B\cap X)\cup (B\cap Y)\right)=(X\cup\emptyset,\emptyset\cup Y)=(X,Y),$$ luego  $f$ es sobreyectiva.
3. De los apartados anteriores,  $f$ es biyectiva si y sólo si,  $A$ y $B$ son complementarios en $E.$ Si es biyectiva,  $$f^{-1}:\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)\to \mathcal{P}(E),\quad f^{-1}(X,Y)=X\cup Y.$$