Semianillo tropical

Construimos en $\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ el denominado semianillo tropical.

Enunciado
En el conjunto $\mathbb{T}=\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ se definen las operaciones $$x\oplus y=\min\{x,y\},\quad x\odot y=x+y.$$
1. Demostrar que $(\mathbb{T},\oplus)$ es semigrupo abeliano con elemento neutro.
2. Demostrar que $(\mathbb{T},\odot)$ es también semigrupo conmutativo con elemento unidad.
3. Demostrar que la operación $\odot$ es distributiva respecto de la operación $\oplus.$ Es decir, que para todo $x,y,z\in\mathbb{T}$ se verifican las igualdades $$\begin{aligned}& i)\;\;x\odot(y\oplus z)=(x\odot y)\oplus (x\odot z),\\
   & ii)\;(x\oplus y)\odot z=(x\odot z)\oplus (y\odot z).\end{aligned}$$
4. Demostrar que $0_T$ anula a todo elemento de $\mathbb{T},$ es decir que $$0_T\odot x=x\odot 0_T=0\quad \forall x\in\mathbb{T}.$$ Nota. Los apartados anteriores prueban que $(\mathbb{T},\oplus,\odot)$ es un semianillo conmutativo. Se le denomina semianillo tropical.
5. Para $n\ge 1$ entero y $a\in\mathbb{T},$ denotamos  $a^n=a\odot a\odot\ldots \odot a$ ($n$ veces). Demostrar que para todo $x,y\in\mathbb{T}$ se verifica $(x\oplus y)^2=x^2\oplus y^2.$
6. Demostrar que para todo entero $n\ge 1$ y $x,y\in\mathbb{T}$ se verifica $(x\oplus y)^n=x^n\oplus y^n.$

Solución
1. Interna. Para todo $x,y\in \mathbb{T}$ es evidente que $x\oplus y\in\mathbb{T}.$
   Asociativa. Para todo $x,y,z\in \mathbb{T},$ $$(x\oplus y)\oplus z=\min\{x,y\}\oplus z=\min\left\{\min\{x,y\},z\right\}=\min\{x,y,z\}$$ $$=\min\left\{x,\min\{y,z\}\right\}=x\oplus \min\{y,z\}=x\oplus (y\oplus z).$$ Existencia de elemento neutro. Denotando $0_T=+\infty,$ tenemos para todo $x\in \mathbb{T}:$ $$x\oplus 0_T=\min\{x,+\infty\}=x,\quad 0_T\oplus x=\min\{+\infty,x\}=x,$$ es decir $0_T$ es elemento neutro para la operación $\oplus.$
   Conmutativa. Para todo $x,y\in \mathbb{T},$ $x\oplus y=\min\{x,y\}=\min\{y,x\}=y\oplus x.$
2. Interna. Para todo $x,y\in \mathbb{T}$ es evidente que $x\odot y\in\mathbb{T}.$
   Asociativa. Para todo $x,y,z\in \mathbb{T},$ $$(x\odot y)\odot z=(x+y)\odot z=(x+y)+z$$ $$=x+(y+z)=x+(y\odot z)=x\odot(y\odot z). $$ Existencia de elemento unidad. Denotando $1_T=0,$ tenemos para todo $x\in \mathbb{T}:$ $$x\odot 1_T=x+0=x,\quad 1_T\odot x=0+x=x,$$ es decir $1_T$ es elemento neutro para la operación $\odot.$
   Conmutativa. Para todo $x,y\in \mathbb{T},$  $x\odot y=x+y=y+x=y\oplus x.$
3. $i)$ Para todo $x,y,z\in\mathbb{T},$ $$ x\odot(y\oplus z)=x+\min\{y,z\}=\min\{x+y,x+z\}$$ $$=(x+y)\oplus (x+z)=(x\odot y)\oplus (x\odot z).$$ Dado que las operaciones $\oplus$ y $\odot$ son conmutativas, también se cumple $ii).$
4. Para todo $x\in \mathbb{T},$ se verifica $$0_T\odot x=(+\infty)+x=+\infty=0_T,$$ y al ser $\odot$ conmutativa, también se verifica $x\odot 0_T=0_T.$
5. Para todo $x,y$ elementos de $\mathbb{T}:$ $$(x\oplus y)^2=(x\oplus y)\odot (x\oplus y)=\min\{x,y\}+\min\{x,y\}$$ $$=\min\{2x,x+y,2y\}=\min\{2x,2y\}.$$ $$x^2\oplus y^2=(x\odot x)\oplus (y\odot y)=(x+x)\oplus (y+y)=\min\{2x,2y\}.$$ Es decir, $(x\oplus y)^2=x^2\oplus y^2.$
6. La igualdad es trivialmente cierta para $n=1.$ Sea cierta para $n-1.$ Entonces, $$(x\oplus y)^n=(x\oplus y)\odot(x\oplus y)^{n-1}=(x\oplus y)\odot (x^{n-1}\oplus y^{n-1})$$ $$=\min\{x,y\}+\min\{(n-1)x,(n-1)y\}$$ $$=\min\{nx,(n-1)x+y,x+(n-1)y,ny\}=\min\{nx,ny\}.$$ Por otra parte, $x^n\oplus y^n=(nx)\oplus (ny)=\min\{nx,ny\}$ y por tanto la igualdad es cierta para $n.$