$ A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}$ $\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}$ conexo, pero no por caminos

Proporcionamos un ejemplo de conjunto conexo que no lo es por caminos.

    Enunciado
    En $\mathbb{R}^2$ con la topología usual se considera el subconjunto $$A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}.$$
  1. Demostrar que es conexo.
  2. Demostrar que no es conexo por caminos.
    Solución

  1. La función $f(x)=(x,\sin 1/x)$ es continua sobre cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ que no contiene a $0$. Escribamos $A=A^+\cup{A^-}$ siendo $A^+=\left\{{(0,0)}\right\}\cup{f\left((0,+\infty)\right)}$ y  $A^-=\left\{{(0,0)}\right\}\cup{f\left((-\infty,0)\right)}$.

    Ahora bien,  $f\left((0,+\infty)\right)$ es conexo por ser imagen continua de un conexo. Como $(0,0)$ es punto límite de $f\left((0,+\infty)\right)$ se concluye que $A^+$ es conexo. Análogamente se demuestra que $A^-$ es conexo. Como $A^+\cap{A^-}\neq{\emptyset}$, se deduce que $A$ es conexo.

  2. Supongamos que existiera un camino $\gamma:[0,1]\rightarrow{A}$ uniendo $(0,0)$ con $(1/\pi,0)$. Consideremos el conjunto cerrado $\gamma^{-1}\left(\left\{{(0,0)}\right\}\right)$ y sea $M$ el supremo de este conjunto. Entonces, sobre el intervalo $[M,1]$ tenemos $\gamma (t)=(0,0)$ si y solo si $t=M$. Parametricemos la curva $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ de tal manera que $M=0$. Tenemos:
    $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \gamma (0)=(0,0)\\& x(t)\neq{0},\;y(t)=\sin \left(1/x(t)\right)  \mbox{ si }  t>0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Elijamos ahora para cada $n$ un entero $a_n$ tal que $2/\pi a_n$ pertenece al intervalo $\left(0,x(1/n)\right)$. Aplicando el teorema del valor intermedio, obtenemos un $t_n\in{(0,1/n)}$ tal que $x(t_n)=2/\pi a_n$. Entonces, $t_n\rightarrow{0}$ pero $\gamma (t_n)  {\nrightarrow{(0,0)}}$. Esto contradice la continuidad de $\gamma$.
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