Mínimo de $\scriptstyle L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz

Enunciado
Utilizando la desigualdad de Schwarz, demostrar que si  $f(x)$ es continua y positiva para $a\le x\le b,$ el producto $$L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$$ es mínimo si y sólamente si $f$ es una función constante.

Solución
El espacio  $E=\mathcal{C}[a,b]$ de las funciones reales continuas en $[a,b]$ sabemos que es un espacio euclídeo provisto del producto escalar $$\langle f_1,f_2\rangle=\int_a^bf_1(x)f_2(x)\;dx.$$ Se verifica por tanto la desigualdad de Schwarz $$\langle f_1,f_2\rangle^2\le \left\|f_1\right\|^2\left\|f_2\right\|^2\quad \forall f_1,f_2\in E.\quad (1)$$ Lamemos  $f_1=f$ y  $f_2=\dfrac{1}{\sqrt{f}},$ que es continua en  $[a,b]$ $(f>0).$ Usando $(1),$ $$ \left[\int_a^bf(x)\cdot \frac{1}{f(x)}dx\right]^2\le \int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b\frac{dx}{f(x)}$$ $$\Rightarrow  (b-a)^2\le L(f).$$ Entonces, $M=(b-a)^2$ es cota inferior de  $L(f)$ y la cota se alcanza cuando la desigualdad de Schwarz se convierte en igualdad, es decir si y solamente si  $f_1=\lambda f_2$ con $\lambda\in\mathbb{R},$ es decir,  si y solamente si $$\sqrt{f}= \frac{\lambda}{\sqrt{f}}$$ que equivale a $f=\lambda$ (constante).