Métrica producto $d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$

Construimos una métrica producto sobre un producto numerable de espacios métricos.

Enunciado
Sea  $\{(X_i,d_i):i\in\mathbb{N}^*\}$ una colección numerable de espacios métricos y sea $X=\prod_{i=1}^{\infty}X_i.$ Demostrar que: $$d:X\times X\to \mathbb{R}_{\ge 0},\quad d\left[(x_n),(y_n)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$$ define una métrica en $X$ (se la denomina métrica producto).

Solución
Para todo $x=(x_n),$ $y=(y_n)$ elementos de $X$ se verifica $$0\le \frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}\le \frac{1}{2^n}\cdot 1=\frac{1}{2^n}.$$ Como la serie geométrica $\sum_{n=1}^{+\infty}(1/2)^n$ es convergente, $d(x,y)\ge 0$ y finito i.e. la aplicación $d$ está bien definida. Veamos que satisface los axiomas de métrica.

$$[M_1]\quad d(x,y)=0\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}=0\;\forall n$$ $$\Leftrightarrow \frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}=0\;\forall n\Leftrightarrow d_n(x_n,y_n)=0\;\forall n\Leftrightarrow x_n=y_n\;\forall n \Leftrightarrow x=y.$$$$[M_2]\quad d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(y_n,x_n)}{1+d_n(y_n,x_n)}=d(y,x).$$ $[M_3]\;$  Sean $x=(x_n),$ $y=(y_n),$ $z=(z_n)$ elementos del conjunto producto $X$ y llamemos $a=d_n(x_n,y_n),$ $b=d_n(x_n,z_n),$ $c=d_n(z_n,y_n).$ Veamos que se verifica $$\frac{a}{1+a}\le \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}.$$ Efectivamente, $$\frac{a}{1+a}\le \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\Leftrightarrow a(1+b)(1+c)\le (1+a)[b(1+c)+c(1+b)]$$ $$\Leftrightarrow \ldots\Leftrightarrow a\le b+c+2bc+abc.$$ Esta última desigualdad se verifica pues al ser $d_n$ distancia, se cumple $a\le b+c.$ Entonces, $$d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}\le \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,z_n)}{1+d_n(x_n,z_n)}+\frac{1}{2^n}\frac{d_n(z_n,y_n)}{1+d_n(z_n,y_n)}$$ $$=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,z_n)}{1+d_n(x_n,z_n)}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(z_n,y_n)}{1+d_n(z_n,y_n)}=d(x.z)+d(z,y),$$ lo cual prueba la desigualdad triangular.