Familia de rectas $6px-2y+x+p^2=0$

Proporcionamos un ejercicio sobre una familia de rectas.

Enunciado
Se considera el conjunto de rectas $$6px-2y+x+p^2=0,\quad p\in{\mathbb{R}}.$$
Demostrar que por cada punto del plano pasan, en general, dos rectas de dicho conjunto.
Encontrar el ángulo que forman las dos rectas que pasan por el punto $(1,-2).$
Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que las dos rectas que pasan por ellos sean coincidentes.

Solución
1. Un punto  $P_0(x_0,y_0)$ del plano pertenece a la recta  $6px-2y+x+p^2=0$ sii se verifica $$p^2+6px_0+x_0-2y_0=0.$$ El discriminante de la ecuación de segundo gado en $p$ es $\Delta=36x_0^2-4x_0+8y_0.$ Si $\Delta>0$ existen dos rectas de la familia que pasan por $P_0,$ si $\Delta=0,$ sólo una y si $\Delta<0,$ ninguna.
2. Para $P_0(1,-2)$ obtenemos la ecuación $p^2+6p+5=0,$ que proporciona las soluciones $p=-1,$ $p=-5$ que corresponden a las rectas $5x+2y-1=0,$  $29x+2y-25=0.$ Si $\alpha$ es el ángulo que forman dichas rectas, $$\cos \alpha=\frac{\langle (5,2),(29,2) \rangle}{\left|(5,2)\right|\left|(29,2)\right|}=\frac{149}{\sqrt{29}\sqrt{745}}=\sqrt{\frac{149}{145}},$$ $$\alpha=\arccos\sqrt{\frac{149}{145}},\quad \alpha \in[0,\pi].$$
3. Por un punto  $P(x,y)$ del plano pasa una única recta de la familia de rectas dada, sii $\Delta=36x^2-4x+8y=0.$ El lugar geométrico pedido es por tanto la parábola $y=(-9/2)x^2+(1/2)x.$