Dos parametrizaciones de la hipérbola

Proporcionamos dos parametrizaciones de la hipérbola, una trigonométrica y otra racional.

Enunciado
Se considera la hipérbola $$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\},\quad (a>0,b>0).$$

Demostrar que $$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=\frac{a}{\cos \theta},\;y=b\tan \theta,\quad \cos\theta\ne 0\},$$ lo cual proporciona una parametrización trigonométrica de la elipse.
Demostrar que $$H=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right),\;y=\frac{1}{2}b\left(1-\frac{1}{t}\right),\; t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\},$$ lo cual proporciona una parametrización racional de la hipérbola.

Solución

Todo punto de la forma $(x,y)=(a/\cos \theta,b\tan \theta)$ con $\cos\theta\ne 0$ pertenece a $H.$ En efecto, $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2}{a^2\cos^2\theta}-\frac{b^2\tan^2\theta}{b^2}=\sec^2\theta-\tan^2\theta=1.$$ Recíprocamente, si $(x,y)\in H,$ entonces al no anularse $x,$ y multiplicando por $a/x^2$ la igualdad $(x/a)^2-(y/b)^2=1$ obtenemos $$1-\frac{a^2y^2}{b^2x^2}=\frac{a^2}{x^2},\text{ o bien }\left(\frac{ay}{bx}\right)^2+\left(\frac{a}{x}\right)^2=1.$$ Por tanto, existe un $\theta$ tal que $a/x=\cos \theta$ $(ay)/(bx)=\sin\theta,$ es decir tal que $$x=\frac{a}{\cos \theta},\quad y=\frac{b}{a}\frac{a\sin\theta}{\cos\theta}=b\tan \theta.$$
Todo punto de la forma $$(x,y)=\left(\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right),\frac{1}{2}b\left(1-\frac{1}{t}\right)\right),\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ pertenece a $H.$ En efecto, $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{a^2}\left[\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right)\right]^2-\frac{1}{b^2}\left[\frac{1}{2}b\left(1-\frac{1}{t}\right)\right]^2$$ $$=\frac{1}{4}\left(t^2+2+\frac{1}{t^2}\right)-\frac{1}{4}\left(t^2-2+\frac{1}{t^2}\right)=1.$$ Recíprocamente, si $(x,y)\in H$ entonces $$\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=1,$$ por tanto, existe un número real $t$ no nulo tal que $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{1}{t}$$ de lo cual se deduce $$x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right),\quad y=\frac{1}{2}b\left(1-\frac{1}{t}\right).$$