Imágenes inversas de conjuntos compactos

Analizamos dos casos de compacidad de las imágenes inversas de conjuntos compactos.

Enunciado
Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos y  $f:X\to Y$ continua.
1. Demostrar que si $X$ es compacto e $Y$ es de Hausdorff entonces, las imágenes inversas de conjuntos compactos son conjuntos compactos.
2. Demostrar que la propiedad del apartado anterior no es cierta en general si se suprime la condición de ser $Y$ de Hausdorff.

Solución
1. Sea $K\subset Y$ compacto. Al ser $Y$ Hausdorff, $K$ es cerrado y por ser $f$ continua,  $f^{-1}(K)$ es cerrado. Pero todo subconjunto cerrado de un compacto es compacto, i.e.  $f^{-1}(K)\subset X$ es compacto.
2. Consideremos $X=Y=[0,1],$  $X$ con la topología usual, $Y$ con la topología $$T=\left\{\varnothing,Y,(1/2,1]\right\},$$ y la aplicación  $f=id:X\to Y.$ Como $X$ es cerrado y acotado en $\mathbb{R},$ es compacto. El espacio $Y$ no es Hausdorff pues por ejemplo, $0$ y $1$ no tienen entornos disjuntos. Las imágenes inversas por $id$ de los elementos de $T$ son respectivamente $\varnothing$,$Y$,$(1/2,1]$ que son abiertos en $X,$ en consecuencia $id$ es continua. El conjunto $K=(1/2,1]$ es claramente compacto en $Y$ pues todo recubrimiento por abiertos de $K$ es finito.
   Por último, $id^{-1}(K)=(-1/2,1]$ no es compacto en $X$ pues no es cerrado con la topología usual.