Ideal generado por un subconjunto de un anillo

Construimos el ideal generado por un subconjunto de un anillo y demostramos que es el menor ideal de entre los que lo contienen.

Enunciado
Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y $S$ un subconjunto de $R.$ Se define $$\langle S\rangle:=\left\{\sum r_is_i\text{ (suma finita)}:r_i\in R,s_i\in S\right\}.$$
1. Demostrar que $\langle S\rangle$ es ideal de $R$.
2. Demostrar que $\langle S\rangle$ es el menor de todos los ideales de $R$ que contienen a $S.$
   Al ideal $\langle S\rangle$ se le llama ideal generado por $S.$

Solución
1. Tenemos $0=0s$ para cualquier $s\in S,$ luego $0\in \langle S\rangle.$ Si $x=\sum r_is_i\in \langle S\rangle$ e $y=\sum r’_js’_j\in \langle S\rangle$ entonces, $$x-y=\sum r_is_i-\sum r’_js’_j=\sum r_is_i+\sum (-r’_j)s’_j,$$ que es una suma finita del tipo de las que pertenecen a $\langle S\rangle.$ Si $r\in R$ y $x=\sum r_is_i\in \langle S\rangle$ entonces, $$rx=r\sum r_is_i=\sum (rr_i)s_i,$$ que es una suma finita del tipo de las que pertenecen a $\langle S\rangle.$
2. Todo elemento $s\in S$ es de la forma $s=1s$ con $1\in R,$ por tanto $S\subset \langle S \rangle.$ Sea ahora $I$ un ideal de $R$ conteniendo al subconjunto $S.$ Para elementos cualesquiera $r_1,\ldots,r_m$ de $R$ y $s_1,\ldots,s_m$ de $S,$ se verifica $$r_1s_1+\cdots+r_ms_m\in I$$ por ser $I$ ideal, luego $\langle S\rangle\subset I.$