Caracterización de anillos noetherianos

Estudiamos la caracterización de los anillos noetherianos vía la condición de cadena ascendente, y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Se dice que $R$ cumple la condición de cadena ascendente sii para toda cadena $I_n$ de ideales de $R$ $$I_1\subset I_2\subset I_3\subset\ldots\subset I_n\subset I_{n+1}\subset\ldots$$ existe un $n_0$ natural tal que $I_n=I_{n_0}$ para todo $n\ge n_0$ (i.e. la cadena se estabiliza).
1. Demostrar la siguiente caracterización $$R\text{ es noetheriano}\Leftrightarrow R\text{ cumple la condición de cadena ascendente.}$$
2. Aplicación. Demostrar que el anillo $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ no es noetheriano.

Solución
1. $\Rightarrow)$ Recordamos que un anillo conmutativo y unitario $R$ se dice que es noetheriano sii todo ideal de $R$ está finitamente generado. Demostremos la caracterización propuesta. Sea $I_1\subset I_2\subset I_3\subset\ldots$ una cadena ascendente de ideales de $R.$ Es inmediato comprobar que $I=\bigcup_{j=1}^nI_j$ es ideal de $R.$ Por hipótesis $R$ está finitamente generado, por tanto existen elementos $g_1,\ldots,g_m$ de $R$ tales que $I=\langle g_1,\ldots,g_m \rangle.$ Para $1\le j\le m$ se verifica $g_j\in I_{k_j}$ para algún $k_j$ natural. Si $$n_0=\max \{k_j:1\le j\le m\},$$ entonces $g_1,\ldots,g_m\in I_{n_0}$ ya que $I_{k_j}\subset I_{n_0}.$ Entonces, para todo $n\ge n_0$ se verifica $$I=\langle g_1,\ldots,g_m \rangle\subset I_{n_0}\subset I_n\subset I,$$ lo cual implica que $I_{n_0}=I_n$ si $n\ge n_0.$
   $\Leftarrow)$ Por reducción al absurdo. Si $R$ no es noetheriano existe un ideal $J$ de $R$ no está finitamente generado. Elijamos $0\ne f_1\in J$ y sea $I_1=\langle f_1 \rangle.$ Como $J$ no está finitamente generado, $I_1\subsetneq J$ y por tanto existe $f_2\in J\setminus I_1$ tal que $I_2=\langle f_1,f_2 \rangle\subsetneq J.$ Repitiendo el proceso obtenemos una cadena de ideales $$I_1\subsetneq I_2\subsetneq I_3 \subsetneq\ldots\quad (I_k=\langle f_1,f_2,\ldots f_k \rangle)$$ que no se estabiliza. Queda demostrada la caracterización.
2. Ver El anillo de las funciones continuas no es noetheriano.