Matriz de Gram y dependencia lineal

Demostramos una caracterización de la dependencia lineal de funciones en términos del determinante de una matriz de Gram.

Enunciado
Sean $f_1,f_2,\ldots,f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuas y $$G[f_1,\ldots,f_n]=\det \begin{bmatrix} \langle f_1,f_1\rangle & \langle f_1,f_2\rangle & \ldots & \langle f_1,f_n\rangle \\ \langle f_2,f_1\rangle & \langle f_2,f_2\rangle & \ldots & \langle f_2,f_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle f_n,f_1\rangle & \langle f_n,f_2\rangle &\ldots & \langle f_n,f_n\rangle \end{bmatrix}$$ en donde $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\;dx.$ Demostrar que $$\{f_1,\ldots,f_n\}\text{ es linealmente dependiente }\Leftrightarrow G[f_1,\ldots,f_n]=0.$$

Solución
$\Leftarrow)$ Si $\{f_1,\ldots,f_n\}$ fuera linealmente independiente, consideremos el espacio vectorial $E=L[f_1,\ldots,f_n].$ Entonces, $\{f_1,\ldots,f_n\}$ es base de $E$ con lo cual, la matriz $G=[\langle f_i,f_j\rangle]$ es la matriz de Gram de un producto escalar y por tanto $G[f_1,\ldots,f_n]=\det G>0$ (absurdo).

$\Rightarrow)$ Si $\{f_1,\ldots,f_n\}$ es linealmente dependiente, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f_n=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_if_i.$ Sustituyendo, la última fila de la matriz es $$\left[\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\langle f_i,f_1\rangle,\;\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\langle f_i,f_2\rangle,\;\ldots,\;\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\langle f_i,f_n\rangle,\right],$$ es decir la última fila es combinación lineal de las restantes y por tanto $G[f_1,\ldots,f_n]=0.$