Cambio de referencia en el espacio afín

Deducimos la ecuación matricial del cambio de referencia en un espacio afín, y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Sean $\mathcal{R}=\{O,B\}$ y $\mathcal{R}’=\{O’,B’\}$ dos referencias en un espacio afín $\mathbb{A}$ de dimensión $n.$ Demostrar que se verifica $$\begin{bmatrix}1\\{x_1}\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ a_1 &p_{11} & \ldots & p_{n1} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_n & p_{1n} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\{x_1^\prime}\\ \vdots\\{x_n^\prime}\end{bmatrix}\qquad (*)$$ en donde,
   $(x_1,\ldots ,x_n)^T$ son las coordenadas de $M\in \mathbb{A}$ en la referencia $\mathcal{R},$
   $(x_1^\prime,\ldots ,x_n^\prime)^T$ las coordenadas del mismo $M$ en la referencia $\mathcal{R}’,$
   $(a_1,\ldots ,a_n)^T$ son las coordenadas de $O$ en la referencia $\mathcal{R},$
   $P=\begin{bmatrix} p_{11} & \ldots & p_{n1}\\\vdots&&\vdots \\ p_{1n} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}$ es la matriz de cambio de $B$ a $B’.$
   A la ecuación $(*)$ se la llama ecuación matricial del cambio de referencia de $\mathcal{R}$ a $\mathcal{R}’$.
2. En un espacio afín $\mathbb{A}$ de dimensión $2$ se consideran las referencias afines $\mathcal{R}=\{O,e_1,e_2\}$ y $\mathcal{R}’=\{O’,e’_1,e’_2\}$ tales que el vector de coordenadas de $O’$ en $\mathcal{R}$ es $(2,-3)^T$ y además $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & e’_1=e_1+4e_2\\& e’_2=3e_1-e_2. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Escribir la ecuación matricial del cambio de referencia de $\mathcal{R}$ a $\mathcal{R}’$ y hallar la ecuación de una recta $r$ en la referencia $\mathcal{R}’,$ cuya ecuación en la referencia $\mathcal{R}$ es $2x_1-x_2=5.$

Solución
1. Para todo $M\in \mathbb{A}$ se verifica $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO’}+\overrightarrow{O’M}.\qquad (1)$$ Sean $B=\{e_1,\ldots,e_n\},$ $B’=\{e’_1,\ldots,e’_n\}.$ Por definición de coordenadas en una referencia afín y usando $(1),$ $$x_1e_1+\cdots +x_ne_n=a_1e_1+\cdots +a_ne_n+x’_1e’_1+\cdots +x’_ne’_n.\qquad (2)$$ La relación entre las bases $B$ y $B’$ es $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & e’_1=p_{11}e_1+\cdots+p_{1n}e_n\\ &\qquad\qquad\ldots\\& e’_n=p_{n1}e_1+\cdots+p_{nn}e_n .\end{aligned}\end{matrix}\right. $$ Sustituyendo en $(2)$ obtenemos $$x_1e_1+\cdots +x_ne_n=a_1e_1+\cdots +a_ne_n$$ $$+x’_1\left(p_{11}e_1+\cdots+p_{1n}e_n\right)+\cdots +x’_n\left(p_{n1}e_1+\cdots+p_{nn}e_n\right).$$ Igualando coordenadas, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1=a_1+p_{11}x’_1+\cdots+x’_np_{n1}\\&\qquad\qquad\ldots\\& x_n=a_n+p_{1n}x’_1+\cdots+x’_np_{nn},\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ relaciones que equivalen a la igualdad matricial $(*).$
2. Según el apartado anterior, la ecuación matricial del cambio de referencia de $\mathcal{R}$ a $\mathcal{R}’$ es $$\begin{bmatrix}{1}\\{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{0}&{\;\;0}\\{\;\;2}&{1}&{\;\;3}\\{-3}&{4}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{x’_1}\\{x’_2}\end{bmatrix},$$ o equivalentemente $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1=2+x’_1+3x’_2\\& x_2=-3+4x’_1-x’_2. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo en $2x_1-x_2=5$ obtenemos $2(2+x’_1+3x’_2)-(-3+4x’_1-x’_2)=5$ o equivalentemente $-2x’_1+7x’_2+2=0,$ que es la ecuación pedida.