Distancia de un plano y de una curva al origen

Publicada el febrero 6, 2016 por Fernando Revilla
    Enunciado
    Usando técnicas de cálculo diferencial,
  1. Calcular la mínima distancia del plano $\alpha:2x-y+2z=2$ al origen y el punto en el que dicha distancia mínima se obtiene.
  2. Calcular la mínima distancia del conjunto $$A= \{ (x,y,z): x^2+y^2=1,\; x+y+z=1 \} $$ al origen y el punto en el que dicha distancia mínima se obtiene.
    Solución
  1. Todo punto $P$ del plano $\alpha$ se puede expresar en la forma $P=(\lambda,2\lambda+2\mu-2,\mu)$ con $\lambda,\mu\in\mathbb{R}.$ La función cuadrado de la distancia de $P$ al origen $O$ es $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(\lambda,\mu)=d^2(P,O)=\lambda^2+(2\lambda+2\mu-2)^2+\mu^2.$$ Hallemos los puntos críticos de $f.$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial \lambda}=0\\& \frac{\partial f}{\partial \mu}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2\lambda+2(2\lambda+2\mu-2)\cdot2=0\\& 2(2\lambda+2\mu-2)\cdot 2+2\mu=0\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 10\lambda +8\mu=8\\& 8\lambda+10\mu=8\end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 5\lambda +4\mu=4\\& 4\lambda+5\mu=4\end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \lambda =4/9\\& \mu=4/9.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Por consideraciones geométricas, en $(\lambda,\mu)=(4/9,4/9)$ obtenemos mínimo absoluto para la función $f$ y por tanto para la función $d(P,O).$ Sustituyendo obtenemos el punto $P_0=(4/9,-2/9,4/9)$ del plano $\alpha$ para el cual la distancia al origen es mínima, siendo esta distancia $$d(P_0,O)=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\right)^2+\left(\frac{-2}{9}\right)^2+\left(\frac{4}{9}\right)^2}=\sqrt{\frac{36}{81}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$
  2. Los puntos $(x,y)$ del plano que satisfacen la condición $x^2+y^2=1,$ son exactamente los de la forma $(\cos t,\sin t)$ con $t\in [0,2\pi],$ luego los puntos $Q$ de $A$ son los de la forma $$Q=(\cos t,\sin t,1-\cos t-\sin t) \text{ con }t\in [0,2\pi].$$ La función cuadrado de la distancia de $Q$ al origen $O$ es $$g:[0,2\pi]\to\mathbb{R},\quad g(t)=d^2(Q,O)=\cos^2t+\sin^2t+(1-\sin t-\cos t)^2$$ $$=1+1+\sin^2t+\cos^2t-2\sin t-2\cos t+2\sin t \cos t$$ $$=3-2\sin t-2\cos t+\sin 2t.$$ Hallemos los puntos críticos de $g.$ Tenemos $$g'(t)=0\Leftrightarrow-2\cos t +2\sin t +2\cos 2t=0$$ $$\Leftrightarrow -\cos t+\sin t+\cos^2t-\sin^2t=0$$ $$\Leftrightarrow -\cos t+\sin t+(\cos t+\sin t)(\cos t-\sin t)=0$$ $$\Leftrightarrow (\cos t -\sin t)(\cos t+\sin t-1)=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \cos t -\sin t=0\\ &\qquad\vee\\& \cos t+\sin t-1=0 .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Por una parte tenemos en $[0,2\pi]$: $$\cos t -\sin t=0\Leftrightarrow \sin t=\cos t\Leftrightarrow t=\pi/4\;\vee\; t=5\pi /4.$$ Por otra parte es claro que la condición $\cos t+\sin t=1$ se verifica exclusivamente en $[0,2\pi]$ para $t=0,$ o $t=\pi/2$ o $t=2\pi.$ Hallemos los valores de $g$ en los puntos críticos del interior de $[0,2\pi]$ y en los extremos: $$g(\pi/4)=3-2\sin (\pi/4)-2\cos (\pi/4)+\sin (\pi/2)=3-2\sqrt{2}
    +1=4-2\sqrt{2},$$ $$g(5\pi/4)=3-2\sin (5\pi/4)-2\cos (5\pi/4)+\sin (5\pi/2)=3+2\sqrt{2}+1=4+2\sqrt{2},$$ $$g(\pi/2)=3-2\sin (\pi/2)-2\cos (\pi/2)+\sin \pi=3-2-0+0=1,$$ $$g(0)=3-2\sin 0-2\cos 0+\sin 0=3=g(2\pi).$$ El mínimo absoluto de $g$ se obtiene por tanto en $t=\pi/4.$ Sustituyendo, obtenemos el punto $Q_0$ de $A$ para el cual el cuadrado de la distancia al origen es mínima $$Q_0=\left(\cos \frac{\pi}{2},\sin \frac{\pi}{2},1-\cos \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{2}\right)=(0.1,0),$$ y la distancia mínima es $d(Q_0,O)=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1.$
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