Una aplicación del teorema de Riemann

Proporcionamos un ejercicio de aplicación del teorema de Riemann.

Enunciado
Sea $G\subset \mathbb{C}$ abierto y $f:G→ℂ$ holomorfa. Definimos $$\varphi: G\times G\to\mathbb{C},\quad \varphi(z,w)=\begin{cases} \dfrac{f(z)-f(w)}{z-w} & \text{si}& z\ne w\\f'(z) & \text{si}& z=w.\end{cases}$$ Demostrar que fijando $w\in G$ la funcion $z\to \varphi(z,w)$ es holomorfa.

Solución
Aplicaremos el teorema de Riemann: Si $F:0 < \left|z-z_0\right| < r\to\mathbb{C}$ es holomorfa tal que $$\displaystyle \lim_{z\to z_0}(z-z_0)F(z)=0,$$ entonces $F$ tiene una singularidad evitable en $z_0$ es decir, se puede asignar un valor $F(z_0)$ de forma que la función resultante sea holomorfa en $\left|z-z_0\right| < r $. Fijemos ahora $w\in G$ y consideremos la función $g(z)=\varphi (z,w)$ es decir, $$g: G\to\mathbb{C},\quad g(z)=\begin{cases} \dfrac{f(z)-f(w)}{z-w} & \text{si}& z\ne w\\f'(w) & \text{si}& z=w.\end{cases}$$ Tenemos que demostrar que $g$ es holomorfa en $G.$ Consideremos dos casos

Caso 1: $z\ne w$. Usando el teorema de la derivada de un cociente, $$g'(z)=\dfrac{f'(z)(z-w)-f(z)-f(w)}{(z-w)^2}.$$ Es decir, existe $g'(z).$

Caso 2: $z= w$. Tenemos $$\displaystyle \lim_{z\to w}(z-w)g(z)=\displaystyle \lim_{z\to w}(z-w)\cdot \dfrac{f(z)-f(w)}{z-w}=\lim_{z\to w}f(z)-f(w)\underbrace{=}_{f\text{ cont. en }G}f(w)-f(w)=0.$$ Como consecuencia del teorema de Riemann, podemos asignar un valor a $g(w)$ tal que $g$ sea holomorfa en $G.$ Ahora bien, para tal valor de $g(w)$, $g$ ha de ser continua en $w$ por tanto $g(w)$ es necesariamente: $$g(w)=\displaystyle \lim_{z\to w} g(z)=\lim_{z\to w} \dfrac{f(z)-f(w)}{z-w}=f'(w).$$