Sensibilidad a condiciones iniciales en métricas equivalentes

En el siguiente problema demostramos que la sensibilidad a condiciones iniciales de los sistemas dinámicos no se conserva por métricas equivalentes.

Enunciado
Sea $(X,d)$ un espacio métrico sin puntos aislados. Esto asegura que todo entorno de cualquier $x\in X$ contiene algún punto distinto de $X.$ Sea $f:X\to X$ una aplicación es decir, un sistema dinámico. Se dice que $f$ es sensible a condiciones iniciales si existe un $\eta >0$ tal que para todo $x\in X$ y para todo $\epsilon>0$ existe $y\in X$ con $d(x,y)<\epsilon$ tal que para algún $n\ge 0$ se verifica $d\left(f^n(x),f^n(y)\right)>\eta .$ Al número $\eta$ se le llama constante de sensibilidad del sistema.
Sea $X=(1,+\infty)$.
(a) Demostrar que $D:X\times X\to \mathbb{R}$ dada por $D(x,y)=\left|\log x-\log y\right|$ define una distancia en $X$.
(b) Demostrar que $D$ es equivalente a la distancia usual en $X$: $d(x,y)=\left|x-y\right|$.
(c) Demostrar que el sistema dinámico $f:(X,d)\to (X,d)$ dado por $f(x)=2x$ es sensible a condiciones iniciales.
(d) Demostrar que el sistema dinámico $f:(X,D)\to (X,D)$ dado por $f(x)=2x$ no es sensible a condiciones iniciales. Concluir.

Solución
(a) Existe $\log t$ para todo $t\in X$ y $D(x,y)\ge 0$ para todo $x,y\in X$. Tenemos $D(x,y)=0\Leftrightarrow \left|\log x-\log y\right|=0\Leftrightarrow \log x=\log y\Leftrightarrow x=y.$ Para todo $x,y\in X$ se verifica $D(x,y)=\left|\log x-\log y\right|=\left|\log y-\log x\right|=D(x,y).$ Por último, para todo $x,y,z\in X$ tenemos $$D(x,y)=\left|(\log x-\log z)+(\log z-\log y)\right|$$$$\le\left|\log x-\log z\right|+\left|\log z-\log y\right|=D(x,z)+D(z,y). $$ Concluimos que $D$ es distancia en $X$.

(b) Consideremos una bola $B_D(x,\epsilon)=\{y\in X:\left|\log x-\log y\right|<\epsilon\}$ y veamos que existe una bola $B_d(x,\delta)$ tal que $B_d(x,\delta)\subset B_D(x,\epsilon).$ Efectivamente, por ser $\log$ una función continua en $x$ dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $y$ que cumpla $\left|x-y\right|<\delta$ se verifica $\left|\log x-\log y\right|<\epsilon$, es decir $D(x,y)<\epsilon$, luego para todo $y\in B_d(x,\delta)$ es $y\in B_D(x,\epsilon)$.

Recíprocamente, consideremos una bola $B_d(x,\epsilon)$ y veamos que existe una bola $B_D(x,\delta)$ tal que $B_D(x,\delta)\subset B_d(x,\epsilon).$ Efectivamente, como la función exponencial es continua dado un $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que si $\log y$ cumple $\left|\log x-\log y\right|<\delta$ entonces $\left|e^{\log x}-e^{\log y}\right|=\left|x-y\right|<\epsilon$, es decir $d(x,y)<\epsilon$ siempre que $D(x,y)<\delta$ luego $B_D(x,\delta)\subset B_d(x,\epsilon).$

(c) Para todo $x,y\in X$ tenemos $$d\left(f^n(x),f^n(y)\right)=\left|2^nx-2^ny\right|=2^n\left|x-y\right|\underbrace{\rightarrow}_{\text{si }x\ne y}+\infty$$ lo cual implica claramente que $f$ es sensible a condiciones iniciales.

(d) Para todo $x,y\in X$ tenemos $$D\left(f^n(x),f^n(y)\right)=\left|\log \left(2^nx\right)-\log \left(2^ny\right)\right|$$ $$=\left|\log\dfrac{2^nx}{2^ny}\right|=\left|\log x-\log y\right|=D(x,y)$$ lo cual implica claramente que $f$ no es sensible a condiciones iniciales. Concluimos por tanto que la sensibilidad a condiciones iniciales no se conserva necesariamente por métricas equivalentes.