Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$

Enunciado
Descomponer $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n \in \mathbb{C}[x]$ en factores lineales.

Solución
Hallemos las raíces complejas de $p(x).$ Tenemos $$p(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^n+(x-1)^n=0\Leftrightarrow{}\left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)^n=-1$$ $$\Leftrightarrow{}\dfrac{x+1}{x-1}=\sqrt[ n]{-1}=\sqrt[ n]{e^{\pi i}}=e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}=z_k,\; (k=0,1,\ldots, n-1).$$ Despejando $x$ obtenemos las raíces $$x_k=\dfrac{z_k+1}{z_k-1}=\dfrac{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}+1}{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}-1}.$$ Llamando $\alpha=\pi/n+2k\pi/n$ tenemos $$x_k=\dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(-\alpha/2)i}}\cdot \dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(\alpha/2) i}-e^{(-\alpha/2)i}}.$$ Por otra parte $$\cot \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{2}:\dfrac{e^{(\alpha/2) i}-e^{(-\alpha/2)i}}{2i}$$ $$\Rightarrow x_k=\dfrac{1}{i}\cot \dfrac{\alpha}{2}=-i\cot \left(\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\right)=–i\cot\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}.$$ Teniendo en cuenta que el coeficiente de mayor grado de $p(x)$ es $2$ queda $$p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n=2\displaystyle\prod _{k=0}^{n-1}(x-x_k)$$ Es decir, $$\boxed{(x+1)^n+(x-1)^n=2\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+i\cot\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\right)}$$