Grupos topológicos

Definimos el concepto de grupo topológico y vemos algunos ejemplos.

Enunciado
Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $T$ una topología definida en $G.$ Decimos que $(G,\cdot,T)$ es un grupo topológico si son continuas la aplicaciones $$\begin{aligned}&G\times G\to G,\quad (x,y)\to xy\\&G\to G,\quad x\to x^{-1}\end{aligned}$$ en donde en $G\times G$ se considera la topología producto. Es decir, han de ser continuas la operación del grupo y la operación inversión. Abreviadamente escribimos simplemente $G$ para designar a un grupo topológico.
1. Demostrar que todo grupo $G$ es un grupo topológico con la topología discreta en $G.$
2. Demostrar que todo subgrupo de un grupo topologico es un grupo topológico con respecto a la topología inducida
3. Sea $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espacio normado. Demostrar que el grupo aditivo $(E,+)$ es grupo topológico cuando en $E$ se considera la topología inducida por la norma.
   Nota. Caso particular importante es el grupo topológico aditivo $\mathbb{R}^n$ con la topología inducida por la distancia euclídea.
4. Sea $\left(\text{GL}_{n}(\mathbb{R}), \cdot{}\right)$ el grupo lineal de orden $n$, es decir $$\text{GL}_{n}(\mathbb{R})=\{A\in\mathbb{R}^{n\times n}:A\text{ es invertible}\}$$ con la operación producto. Demostrar que $\text{GL}_{n}(\mathbb{R})$ es grupo topológico con la topología inducida por la métrica $$d(A,B)=\left(\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left |{a_{ij}-b_{ij}}\right |^2\right)^{1/2},\; A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in \text{GL}_{n}(\mathbb{R}).$$

Solución
1. Sabemos que el producto de una cantidad finita de espacios topológicos discretos es discreto en la topología producto. Esto implica trivialmente la continuidad de la aplicación operación del grupo y de la operación tomar inversos.
2. Si $H$ es un subgrupo de un grupo topologíco $G$, la restricción de la multiplicación y la inversión a $H$ son funciones continuas y como $H$ es un subespacio topológico con la topología inducida tenemos que es un grupo topológico.
3. Demostremos que la aplicación $E\times E\to E,$ dada por $(x,y)\to x+y$ es uniformemente continua, con lo cual será continua. En efecto, sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta=\epsilon/2.$ Entonces, $$\left \{ \begin{matrix} \left\|x-x’\right\|<\delta \\\left\|y-y'\right\|<\delta\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\|(x+y)-(x'+y')\right\|$$ $$\leq \left\|x-x'\right\|+\left\|y-y'\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$ Demostremos que para todo $a\in\mathbb{K},$ la función $E\to E$ dada por $x\to a x$ es uniformemente continua, con lo cual será continua en particular $x\to (-1)x=-x$. Si $a=0,$ el resultado es trivial. Si $a\neq 0,$ sea $\epsilon >0.$ Entonces, eligiendo $\delta=\epsilon/\left|a\right|:$ $$\left\|x-x’\right\|<\delta \Rightarrow \left\|ax-ax'\right\|=\left|a\right|\left\|x-x'\right\|<\left|a\right|\frac{\epsilon}{\left|a\right|}=\epsilon.$$ Concluimos que $E$ es grupo topológico.
4. (d) Podemos identificar $\mathbb{R}^{n\times n}$ con $\mathbb{R}^{n^2}$ en la forma estándar $$\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}^{n^2},\quad A=[a_{ij}]\to a=(a_{11},\ldots,a_{1n},\ldots,a_{n1},\ldots,a_{nn}),$$ con lo cual podemos considerar $\text{GL}_{n}(\mathbb{R})\subset \mathbb{R}^{n^2}$ y la distancia dada es la distancia euclidea en $\mathbb{R}^{n^2}$, es decir $$d(a,b)=\left(\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|a_{ij}-b_{ij}\right|^2\right)^{1/2}.$$ En la operación producto $ab$ intervienen sumas y productos de las variables $a_{ij}$ y $b_{ij}$ y en $a^{-1}$, sumas, productos e inversos de números no nulos; que con la distancia euclídea sabemos que son operaciones continuas. Concluimos que las operaciones producto e inversión son continuas en $\text{GL}_{n}(\mathbb{R}).$