Teorema de los círculos de Gershgorin

Demostramos el teorema de los círculos de Gershgorin y damos ejemplos de aplicación.

Enunciado
Sea $A=\left[a_{ij}\right]\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Para cada $i=1,2,\ldots, n$ consideremos los círculos cerrados del plano complejo $$D_i=D(a_{ii},r_i)=\{z\in\mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le r_i\}\text{ con }r_i = \sum_{j\neq{i}} \left|a_{ij}\right|.$$A tales círculos se les llama círculos de Gershgorin. Cada círculo $D_i$ tiene su centro en el elemento $a_{ii}$ de la diagonal principal y su radio es la suma de los módulos de los restantes elementos de la fila $i$.
1. Demostrar el teorema de los círculos de Gershgorin:
   Cada valor propio de $A$ pertenece a algún círculo de Gershgorin.
2. Aplicar el teorema a la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;2}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}$.
3. Idem para la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}.$
4. Idem para la matriz $A=\text{diag }(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{C}^{n\times n}.$
5. Deducir un teorema parecido al de Gershgorin que involucre elementos de columnas.

Solución
1. Sea $\lambda$ un valor propio de $A$ y sea $0\ne x=(x_j)$ un vector propio asociado a $\lambda$. Llamemos $x_i$ a la coordenada de $x$ de mayor módulo. Claramente $|x_i|>0$ pues en otro caso sería $x=0.$ Se verifica $A x=\lambda x$, es decir $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}$$ o bien, $$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = \lambda x_i \quad \forall i=1, \ldots, n.$$ De forma equivalente $\sum_{j \neq i} a_{ij} x_j = \lambda x_i – a_{ii} x_i$ y dividiendo ambos miembros entre $x_i$ y tomando módulos $$|\lambda – a_{ii}| = \left|\frac{\sum_{j\ne i} a_{ij} x_j}{x_i}\right| \le \sum_{j\ne i} \left| \frac{a_{ij} x_j}{x_i} \right| \le \sum_{j\ne i} |a_{ij}| = r_i.$$ Es decir, $\lambda\in D(a_{ii},r_i).$
2. Hallemos sus valores propios: $\chi(\lambda)=\lambda^2-3=0,\;\lambda=\pm \sqrt{3}.$ Los círculos de Gershgorin son $D_1=D(1,2),$ $D_2=D(-1,1).$ Con un sencillo gráfico podemos verificar que $-\sqrt{3}\in D_2$ y que $\sqrt{3}\in D_1.$ En éste caso, ocurre además que $-\sqrt{3}\notin D_1$ y $\sqrt{3}\notin D_2.$
3. Sus valores propios: $\chi(\lambda)=\lambda^2+1=0,$ $\lambda=\pm i.$ Los círculos de Gershgorin son $D_1=D(1,1),$ $D_2=D(-1,2).$ Con un sencillo gráfico podemos verificar que $-i\in D_2$, $i\in D_2.$ Sin embargo, $D_1$ no contiene a ningún valor propio de $A.$ Nótese que el teorema de Gershgorin asegura que todo valor propio pertenece a algún círculo, pero puede que algún círculo no contenga valores propios.
4. Sus valores propios son $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ y sus círculos de Gershgorin $$D_1(\lambda_1,0)=\{\lambda_1\},\;D_2(\lambda_2,0)=\{\lambda_2\},\;\ldots\;,\;D_n(\lambda_n,0)=\{\lambda_2\}$$ con lo cual, $\lambda_i\in D_i(\lambda_i,0)$ para todo $i=1,2,\ldots,n$.
5. Dado que toda matriz $A$ y su traspuesta $A^T$ tienen los mismos valores propios, el teorema de Greshgorin sigue siendo válido si consideramos los discos $$D_i^{\prime}=D(a_{ii},r_i^{\prime})=\{z\in\mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le r_i^{\prime}\}\text{ con }r_i^{\prime} = \sum_{j\neq{i}} \left|a_{ji}\right|.$$ Es decir, cada círculo $D_i^{\prime}$ tiene su centro en el elemento $a_{ii}$ de la diagonal principal y su radio es la suma de los módulos de los restantes elementos de la columna $i$.