Derivada $f^{(2016)}(0)$ para $f(x)=x^2\log (x+1)$

Proporcionamos un ejemplo de aplicación de la regla de Leibniz para la derivada enésima del producto.

Enunciado
Calcular $\;f^{(2016)}(0)$, siendo $f(x)=x^2\log (x+1)$.

Solución
La regla de Leibniz para la derivada enésima del producto es $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$$ En nuestro caso, tomando $u(x)=\ln (x+1)$ y $v(x)=x^2$:
$$\left \{ \begin{matrix} u^{(0)}(x)=\log (1+x) \\ u^{(1)}(x)=(x+1)^{-1}\\ u^{(2)}(x)=-1(x+1)^{-2}\\u^{(3)}(x)=2(x+1)^{-3}\\ \ldots \\ u^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(x+1)^{-n}\end{matrix}\right.\;\;\; \left \{ \begin{matrix} v^{(0)}(x)=x^2 \\ v^{(1)}(x)=2x \\ v^{(2)}(x)=2\\ v^{(3)}(x)=0 \\ \ldots \\ v^{(n)}(x)=0\end{matrix}\right.$$ Particularizando en $x=0$: $$\left \{ \begin{matrix} u^{(0)}(0)=0 \\ u^{(1)}(0)=1\\ u^{(2)}(0)=-1\\u^{(3)}(0)=2\\ \ldots \\ u^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!\end{matrix}\right.\;\;\; \left \{ \begin{matrix} v^{(0)}(0)=0 \\ v^{(1)}(0)=0 \\ v^{(2)}(0)=2\\ v^{(3)}(0)=0 \\ \ldots \\ v^{(n)}(0)=0\end{matrix}\right.$$
Queda por tanto:
$$f^{(2016)}(0)=(uv)^{(2016)}(0)=\displaystyle\binom{2016}{2}u^{(2014)}(0)v^{(2)}(0)$$ $$=\displaystyle\binom{2016}{2}(-1)(2013)!\cdot 2=-\dfrac{2016!}{1007}.$$